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東北大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

平面上の三角形OABにおいてa→=OA→，
b→=OB→とおき，次が成り立つとする。∣a→∣=2,∣b→∣=5,a→⋅b→=1ただし，a→⋅b→はa→とb→の内積を表す。
s, tは0<s<1, 0<t<1を満たす実数とし，
辺OAをs:(1−s)に内分する点をD，辺OBをt:(1−t)に内分する点をEとする。
また，線分AEと線分BDの交点をFとし，これら2つの線分は点Fにおいて直交しているとする。
以下の問いに答えよ。

(1) tをsを用いて表せ。また，sのとりうる値の範囲を求めよ。

(2) OF→を
a→, b→およびsを用いて表せ。

(3) 平面上の点Pで∣OP→∣2+2 FP→⋅AB→=4を満たすもの全体が半径3の円をなすための必要十分条件を
OF→, a→, b→を用いて表せ。
また，この必要十分条件が成り立つとき，sの値を求めよ。

難易度7/ 10計算量6/ 10目安25分

ベクトル、図形と方程式　内積の利用、ベクトル成分計算、軌跡、文字消去

方針

直線 AE と BD の方向ベクトルをそれぞれ tb−a，sa−b と表す。直交条件はこれらの内積が0であることなので，まず s,t の関係式を得る。交点 F は，AE 上の点と BD 上の点を係数つきで等置して求める。最後の軌跡条件は，点 P の位置ベクトルを p とし，式を平方完成して円の中心と半径を読み取る。半径が3である条件は，OF→⋅(b−a)=0 に帰着する。

解答

(1) 点 D,E の位置ベクトルはOD→=sa,OE→=tbである。直線 AE の方向ベクトルは tb−a であり，直線 BD の方向ベクトルは sa−b である。2直線が直交するので，これらの内積は0である。したがって (tb−a)⋅(sa−b)=0 である。

与えられた条件∣a∣2=2,∣b∣2=5,a⋅b=1を用いると，(tb−a)⋅(sa−b)=st(a⋅b)−t∣b∣2−s∣a∣2+a⋅bより st−5t−2s+1=0 となる。これを t について解くと t(s−5)=2s−1 であるから，t=1−2s5−s を得る。

条件 0<s<1，0<t<1 を調べる。0<s<1 では 5−s>0 であるから，t>0 となる条件は 1−2s>0 すなわち 0<s<12 である。またこの範囲では 0<1−2s<5−s が成り立つので t<1 も満たされる。よって求める s の範囲は 0<s<12 である。

(2) 交点 F を直線 AE 上で OF→=(1−λ)a+λtb と表す。また直線 BD 上で OF→=(1−μ)b+μsa と表す。a,b は三角形を作る2辺のベクトルなので一次独立であり，係数を比較できる。よって 1−λ=μs,λt=1−μ である。

ここで 0<s,t<1 より 1−st>0 である。これを解くと，λ=1−s1−st,μ=1−t1−st となる。したがってOF→=s(1−t)1−sta+t(1−s)1−stbである。

ここに t=1−2s5−s を代入する。まず 1−t=1−1−2s5−s=4+s5−s, また1−st=1−s1−2s5−s=5−s−s+2s25−s=2s2−2s+55−sである。よって a の係数は s(1−t)1−st=s(s+4)2s2−2s+5 である。

同様に b の係数はt(1−s)1−st=(1−2s)(1−s)2s2−2s+5=(s−1)(2s−1)2s2−2s+5である。したがってOF→=s(s+4)2s2−2s+5a+(s−1)(2s−1)2s2−2s+5bである。

(3) 点 P の位置ベクトルを p とする。条件式∣OP→∣2+2FP→⋅AB→=4をベクトルで書き直す。ここでFP→=p−OF→,AB→=b−aであるから，∣p∣2+2(p−OF→)⋅(b−a)=4となる。すなわち∣p∣2+2p⋅(b−a)=4+2OF→⋅(b−a)である。左辺を平方完成すると∣p+b−a∣2−∣b−a∣2=4+2OF→⋅(b−a)である。

ここで∣b−a∣2=∣b∣2−2a⋅b+∣a∣2=5−2+2=5だから，軌跡は∣p+b−a∣2=9+2OF→⋅(b−a)と表される。したがって，この軌跡が半径3の円であるための必要条件は 9+2OF→⋅(b−a)=9，すなわち OF→⋅(b−a)=0 である。逆にこの内積が0ならば軌跡の式は ∣p+b−a∣2=9 となり，中心 −b+a，半径3の円を表す。よって必要十分条件は OF→⋅(b−a)=0 である。

(2) の結果を OF→=Aa+Bb とおく。ただし A=s(s+4)2s2−2s+5,B=(s−1)(2s−1)2s2−2s+5 である。このときa⋅(b−a)=1−2=−1,b⋅(b−a)=5−1=4だから，OF→⋅(b−a)=−A+4B である。よって −A+4B=−s(s+4)+4(s−1)(2s−1)2s2−2s+5 であり，分子を整理すると −s2−4s+8s2−12s+4=7s2−16s+4=(s−2)(7s−2) となる。したがってOF→⋅(b−a)=(s−2)(7s−2)2s2−2s+5である。

分母は 2s2−2s+5=2(s−12)2+92>0 であるから，条件は (s−2)(7s−2)=0 である。(1)で得た範囲 0<s<1/2 に入るのは s=27 だけである。

総評

難易度は7/10で，文系では25〜30分を見込む差がつく問題である。(1)(2)は確保したい標準部分，(3)が完答者を分ける。採点上は，直線 AE,BD の方向ベクトルと直交条件，0<t<1 を含む s の範囲，交点 F の2通りの表示，軌跡の平方完成，半径3となる条件の必要性と十分性，最後の s の範囲確認が要点になる。1−st≠0 を断らずに割ること，半径の二乗だけを合わせて逆向きを書かないこと，s=2 を範囲確認せず残すことが典型的な失点である。時間が厳しければまず(1)(2)を答案化し，(3)は平方完成までを部分点として残したい。

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出典: 東北大学 2026年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。