東北大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) 関数 $f(x)=x^4-x^2$ の導関数は $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=4x^3-2x=2x(2x^2-1)$$ である。したがって停留点は $$x=0,x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$ である。それぞれの値は$$f(0)=0,f(\pm \frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$$である。

導関数の符号は，$(-\mathrm{\infty },-1\mathrm{/}\sqrt{2})$ で負，$(-1\mathrm{/}\sqrt{2},0)$ で正，$(0,1\mathrm{/}\sqrt{2})$ で負，$(1\mathrm{/}\sqrt{2},\mathrm{\infty })$ で正である。また $f(x)$ は偶関数で，$x=-1,0,1$ で $x$ 軸と交わり，$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\to \mathrm{\infty }$ で $f(x)\to \mathrm{\infty }$ となる。したがってグラフは $y$ 軸対称で，$(0,0)$ で極大値0を，$x=\pm 1\mathrm{/}\sqrt{2}$ で極小値 $-1\mathrm{/}4$ をとるW字形である。

(2) 2つの異なる点で接する水平な直線は，2つの極小点を通る直線であるから，$l:y=-\frac{1}{4}$ である。

(3) まず，直線 $l$ とグラフで囲まれる部分は，$$-1\mathrm{/}\sqrt{2}\le x\le 1\mathrm{/}\sqrt{2}$$ にある。この区間では $$f(x)+\frac{1}{4}=x^4-x^2+\frac{1}{4}={(x^2-\frac{1}{2})}^2\ge 0$$ であり，面積 $S$ は $$S={\int }_{-1\mathrm{/}\sqrt{2}}^{1\mathrm{/}\sqrt{2}}(f(x)+\frac{1}{4})dx$$ である。偶関数性を用いると $$S=2{\int }_0^{1\mathrm{/}\sqrt{2}}(x^4-x^2+\frac{1}{4})dx$$ である。計算すると $$S=2{[\frac{x^5}{5}-\frac{x^3}{3}+\frac{x}{4}]}_0^{1\mathrm{/}\sqrt{2}}$$ であり，$r=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ とおくと $r^3=r\mathrm{/}2$，$r^5=r\mathrm{/}4$ だから$$S=2(\frac{r}{20}-\frac{r}{6}+\frac{r}{4})=2r(\frac{3}{60}-\frac{10}{60}+\frac{15}{60})=\frac{4r}{15}=\frac{2\sqrt{2}}{15}$$となる。したがって $$S=\frac{2\sqrt{2}}{15}$$ である。

次に，直線 $m$ を $m:y=h$ とおく。方程式 $x^4-x^2=h$ がちょうど2つの実数解をもつ条件を考える。グラフの概形より，$h>0$ のとき，左右対称に2つの交点だけが現れる。逆に $-1\mathrm{/}4<h<0$ では4点，$h=0$ では3点，$h=-1\mathrm{/}4$ では接点を含めて2点だがその直線はすでに $l$ である。ここでは $m$ は $l$ とは異なるもう一つの水平線なので，対象となるのは $h>0$ である。

正の交点の $x$ 座標を $\alpha$ とする。このとき $h>0$ だから $\alpha >1$ であり，$$h=f(\alpha )={\alpha }^4-{\alpha }^2$$ である。直線 $m$ とグラフで囲まれる面積を $T$ とすると，対称性より $$T=2{\int }_0^{\alpha }\{h-f(x)\}dx$$ である。$h={\alpha }^4-{\alpha }^2$ を代入して $$T=2{\int }_0^{\alpha }({\alpha }^4-{\alpha }^2-x^4+x^2)dx$$ となる。よって$$T=2{[({\alpha }^4-{\alpha }^2)x-\frac{x^5}{5}+\frac{x^3}{3}]}_0^{\alpha }$$であり，$$T=2({\alpha }^5-{\alpha }^3-\frac{{\alpha }^5}{5}+\frac{{\alpha }^3}{3})=2(\frac{4}{5}{\alpha }^5-\frac{2}{3}{\alpha }^3)=\frac{4}{15}{\alpha }^3(6{\alpha }^2-5)$$である。 $\alpha >1$ であるから，$${\alpha }^3(6{\alpha }^2-5)>1\cdot (6-5)=1$$ である。したがって $$T>\frac{4}{15}$$ である。一方，上で求めた $S$ より $$\sqrt{2}S=\sqrt{2}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{15}=\frac{4}{15}$$ である。よって $T>\sqrt{2}S$ が成り立つ。