Evolton
方針
まず を調べ，グラフの概形と水平な接線を求める。2点で接する水平線は左右対称な極小点を通る直線である。面積 は偶関数性を利用して半分を積分する。もう一つの水平線 がグラフとちょうど2点で交わる条件は， と表せる。このとき交点の正の 座標を とおくと， であり，面積 を の式で表せる。最後に を使って の下限を評価し， と比較する。
解答
(1) 関数 の導関数は である。したがって停留点は である。それぞれの値はである。
導関数の符号は， で負， で正， で負， で正である。また は偶関数で， で 軸と交わり， で となる。したがってグラフは 軸対称で， で極大値0を， で極小値 をとるW字形である。
(2) 2つの異なる点で接する水平な直線は，2つの極小点を通る直線であるから， である。
(3) まず，直線 とグラフで囲まれる部分は， にある。この区間では であり，面積 は である。偶関数性を用いると である。計算すると であり， とおくと ， だからとなる。したがって である。
次に，直線 を とおく。方程式 がちょうど2つの実数解をもつ条件を考える。グラフの概形より， のとき，左右対称に2つの交点だけが現れる。逆に では4点， では3点， では接点を含めて2点だがその直線はすでに である。ここでは は とは異なるもう一つの水平線なので，対象となるのは である。
正の交点の 座標を とする。このとき だから であり， である。直線 とグラフで囲まれる面積を とすると，対称性より である。 を代入して となる。よってであり，である。 であるから， である。したがって である。一方，上で求めた より である。よって が成り立つ。
総評
難易度は6/10で，20〜25分を目安とする標準〜やや難の微積分問題である。(1)(2)は必ず確保し，(3)の面積評価が差になる。採点点は導関数の符号を反映したグラフ，2つの極小点に共通する接線 ，偶関数性を使った の積分， がちょうど2交点をもつ条件 ，交点 による の表示，最後の厳密不等式である。 の3交点や の除外を落とすこと， で上下を逆にすること， から得る不等号を等号にしてしまうことが典型的な失点になる。計算は と を別々に整理し，最後に と比較すると安定する。