東京大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)

各ボールに3箱の選択肢があるので，$$3^n\mathrm{.}$$(2)

各箱の個数を$x,y,z$とすると，$$x+y+z=n,x,y,z\geqq 0$$の整数解の数である。よって$${\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{2}}\mathrm{.}$$(3)

まず3箱を区別した$3^n$通りを考える。箱の並べ替えは6通りある。何も動かさない並べ替えでは全$3^n$通りが変わらない。

2箱だけを交換する並べ替えは3通りあり，各場合で変わらない入れ方は，動かさない1箱に全ボールを入れる1通りだけである。3箱を巡回させる2通りの並べ替えでは，$n>0$なので変わらない入れ方はない。

したがって，同じ入れ方が6回ずつ数えられることを補正すると，$${\displaystyle \frac{3^n+3}{6}}\mathrm{.}$$(4)

3箱の個数を$$0\leqq x\leqq y\leqq z,x+y+z=6m$$とする。$x$は$0$から$2m$まで動き，固定した$x$に対して$$x\leqq y\leqq \lfloor {\displaystyle \frac{6m-x}{2}}\rfloor \mathrm{.}$$よって総数は$$\sum _{x=0}^{2m}(\lfloor {\displaystyle \frac{6m-x}{2}}\rfloor -x+1)\mathrm{.}$$ここで$$\lfloor {\displaystyle \frac{6m-x}{2}}\rfloor =3m-\lceil {\displaystyle \frac{x}{2}}\rceil$$であり，$$\sum _{x=0}^{2m}\lceil {\displaystyle \frac{x}{2}}\rceil =m(m+1)$$だから，総数は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle (2m+1)(3m+1)-m(2m+1)-m(m+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3m^2+3m+1.}\end{array}$$

(3) は使用する箱の個数を1個，2個，3個に分け，番号つきボールの集合の分割として数える。(4)は箱の個数を$i,i+j,i+j+k$とおき，方程式$3i+2j+k=6m$の非負整数解を$i$の偶奇に分けて数える。

(1)

各ボールについて入れる箱を$A,B,C$の3通りから選べるので，$$3^n\mathrm{.}$$(2)

3箱のボール数を$x,y,z$とすれば，$$x+y+z=n,x,y,z\geqq 0$$の整数解の個数である。仕切り2本を用いると，$${\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{2}}\mathrm{.}$$(3)

非空の箱が1個なら1通りである。非空の箱が2個なら，ボールの集合を空でない2組に分ける。まず一方の組を選ぶ方法は$2^n-2$通りであるが，2組の交換を同一視するので$$2^{n-1}-1$$通りである。

非空の箱が3個なら，いったん3箱を区別する。全割り当て$3^n$通りから，指定した1箱が空であるものを引き，2箱が空であるものを戻すと$$3^n-3\cdot 2^n+3$$通りである。3箱の並べ替え6通りを同一視するので$${\displaystyle \frac{3^n-3\cdot 2^n+3}{6}}$$通りである。以上の和は$$1+(2^{n-1}-1)+{\displaystyle \frac{3^n-3\cdot 2^n+3}{6}}={\displaystyle \frac{3^n+3}{6}}\mathrm{.}$$(4)

3箱の個数を小さい順に$$i,i+j,i+j+k$$とおく。ここで$i,j,k$は非負整数である。和が$6m$だから$$3i+2j+k=6m\mathrm{.}$$固定した$i$に対し，$$0\leqq j\leqq \lfloor {\displaystyle \frac{6m-3i}{2}}\rfloor$$であり，$k$は一意に決まる。

$i=2r$の場合は$0\leqq r\leqq m$で，個数は$$3(m-r)+1.$$$i=2r+1$の場合は$0\leqq r\leqq m-1$で，個数は$$3(m-r)-1.$$したがって総数は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \sum _{r=0}^m\{3(m-r)+1\}+\sum _{r=0}^{m-1}\{3(m-r)-1\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3m^2+3m+1.}\end{array}$$