東京大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
係数の偶奇だけを考える。基本となる等式は $(1+x{)}^2=1+2x+x^2$ である。したがって、係数を2で割った余りで見ると $(1+x{)}^2$ は $1+x^2$ と同じである。

これを繰り返す。例えば $$(1+x{)}^4=((1+x{)}^2{)}^2$$ は、係数の偶奇だけを見れば $(1+x^2{)}^2$ と同じであり、さらに $(1+x^2{)}^2=1+2x^2+x^4$ なので、偶奇だけを見れば $1+x^4$ と同じである。

同様に繰り返すと $(1+x{)}^{2^k}$ は、係数の偶奇だけを見れば $1+x^{2^k}$ と同じである。ところが二項定理より $$(1+x{)}^{2^k}=\sum _{n=0}^{2^k}{}_{2^k}{\mathrm{C}}_n{x}^n$$ である。右端の $1+x^{2^k}$ には中間の項がないので $0<n<2^k$ を満たす $n$ について、係数 ${}_{2^k}{\mathrm{C}}_n$ はすべて偶数である。

(2)
条件を満たす自然数 $m$ を考える。すべての ${}_m{\mathrm{C}}_n$ が奇数であるから、係数の偶奇だけを見れば $(1+x{)}^m$ は $1+x+x^2+\cdots +x^m$ と同じである。

両方に $1+x$ を掛けると、係数の偶奇だけを見て $(1+x{)}^{m+1}$ は $(1+x)(1+x+x^2+\cdots +x^m)$ と同じである。右辺は $1+2x+2x^2+\cdots +2x^m+x^{m+1}$ であるから、偶奇だけを見れば $1+x^{m+1}$ と同じである。すなわち、$(1+x{)}^{m+1}$ の中間係数はすべて偶数である。

ここで $m+1=2^{s}q$ とおく。ただし $q$ は奇数である。もし $q>1$ なら、(1)と同じ変形を $s$ 回行うことで、係数の偶奇だけを見て $$(1+x{)}^{m+1}=((1+x{)}^{2^s}{)}^q$$ は $(1+x^{2^s}{)}^q$ と同じになる。この多項式の $x^{2^s}$ の係数は $q$ であり、$q$ は奇数だから、この中間係数は奇数である。これは $(1+x{)}^{m+1}$ の中間係数がすべて偶数であることに反する。よって $q=1$ でなければならない。したがって $m+1=2^s$ である。

逆に $$m=2^s-1(s=1,2,3,\dots )$$ とする。このとき $(1+x{)}^{m+1}=(1+x{)}^{2^s}$ であるから、(1)より係数の偶奇だけを見れば $(1+x{)}^{m+1}$ は $1+x^{m+1}$ と同じである。一方 $$(1+x)(1+x+x^2+\cdots +x^m)=1+2x+2x^2+\cdots +2x^m+x^{m+1}$$ も、係数の偶奇だけを見れば $1+x^{m+1}$ と同じである。

したがって $(1+x{)}^{m+1}$ と $(1+x)(1+x+\cdots +x^m)$ は係数の偶奇が一致する。両方が $1+x$ を因数にもつので、割った後の $(1+x{)}^m$ と $1+x+\cdots +x^m$ も係数の偶奇が一致する。よって $(1+x{)}^m$ のすべての係数、すなわちすべての ${}_m{\mathrm{C}}_n$ は奇数である。

以上より、求める自然数は $$m=2^s-1(s=1,2,3,\dots )$$ である。

(1) は二項係数を ${}_{2^k}{\mathrm{C}}_n=(2^k\mathrm{/}n){}_{2^k-1}{\mathrm{C}}_{n-1}$ と分け、分子・分母に含まれる2の個数を比較する。(2)は $m$ の2進表示に対応して $(1+x{)}^m$ を因数分解し、どの次数の係数が奇数になるかを2進桁で判定する。

(1) $${}_{2^k}{\mathrm{C}}_n={\displaystyle \frac{2^k}{n}}{}_{2^k-1}{\mathrm{C}}_{n-1}(0<n<2^k)$$と書く。ここで$${}_{2^k-1}{\mathrm{C}}_{n-1}={\displaystyle \frac{(2^k-1)(2^k-2)\cdots (2^k-n+1)}{1\cdot 2\cdots (n-1)}}\mathrm{.}$$$1\leqq j<2^k$ に対し、$j=2^{s}q$（$q$ は奇数）と書けば$$2^k-j=2^s(2^{k-s}-q)$$で、括弧内は奇数である。従って $j$ と $2^k-j$ に含まれる因数2の個数は等しい。上の分数では分子・分母の因数2が全て相殺されるので、${}_{2^k-1}{\mathrm{C}}_{n-1}$ は奇数である。

一方、$n<2^k$ だから $n$ に含まれる因数2の個数は $k$ 未満である。従って $2^k\mathrm{/}n$ から少なくとも1個の因数2が残り、${}_{2^k}{\mathrm{C}}_n$ は偶数である。

(2)
$m$ を2進表示して$$m={\epsilon }_0+{\epsilon }_{1}2+\cdots +{\epsilon }_s{2}^s,{\epsilon }_j\in \{0,1\}$$とする。係数を2で割った余りだけ見ると、(1)と同じ議論から$$(1+x{)}^{2^j}\equiv 1+x^{2^j}$$である。従って$$(1+x{)}^m\equiv (1+x{)}^{{\epsilon }_0}(1+x^2{)}^{{\epsilon }_1}\cdots (1+x^{2^s}{)}^{{\epsilon }_s}\mathrm{.}$$右辺を展開すると、$x^n$ の係数が奇数になるのは、$n$ の2進表示で1になっている桁が全て $m$ でも1になっている場合に限る。

$0\leqq n\leqq m$ の全てで係数が奇数になるには、$m$ の最高桁以下が全て1でなければならない。従って$$m=(111\cdots 1{)}_2=2^{s+1}-1.$$逆にこの形なら、$0\leqq n\leqq m$ の各2進桁は $m$ の1の桁から自由に選べるので、全ての係数が奇数である。

よって求める自然数は$$m=2^k-1(k=1,2,3,\dots )$$である。