横浜国立大学 2022年度文理共通数学第3問解答・解説

問題

1辺の長さが1である正四面体 $O A B C$ を考える。点 $P, Q, R$ は、それぞれ辺 $O A, O B, B C$ を以下のように内分する。

O P : P A = s : (1 - s), O Q : QB = t : (1 - t), B R : R C = u : (1 - u)

さらに、点 $O$ 、 $△ A B C$ の重心 $G$ 、 $△ P QR$ の重心 $H$ の3点は同一直線上にある。

次の問いに答えよ。

(1) $s, u$ を $t$ の式で表せ。また $s$ のとり得る値の範囲を求めよ。

(2) $∣ QP ∣^{2}, ∣ QR ∣^{2}$ 、内積 $O P \cdot QR$ を $t$ の式で表せ。

(3) $△ P QR$ の面積 $S$ を $t$ の式で表せ。また $S$ が最小となる $t$ の値を求めよ。

出典：横浜国立大学 2022年度前期文理共通第3問

方針

解法1（基底ベクトルと内積を使う方法）

$a = O A, b = O B, c = O C$ とおく。重心 $H$ の位置ベクトルが $a + b + c$ と平行であることから係数を比較する。正四面体では3本の基底ベクトルの長さが1、相互の内積が $1/2$ なので、各辺と内積を計算し、Gramの式から面積を求める。

解法2（三辺を求め、Heron型の恒等式を使う方法）

重心条件は基底 $a, b, c$ の係数比較で処理する。(2)の指定量に加え、三角形 $P QR$ の第3辺 $P R$ も計算する。面積は2辺の内積ではなく、3辺の長さだけを使う $16 S^{2} = 2 (X Y + Y Z + Z X) - X^{2} - Y^{2} - Z^{2}$ に代入して求める。

解答

解法1（基底ベクトルと内積を使う方法）

(1)

a = O A, b = O B, c = O C

とおく。各点の位置ベクトルは

O P = s a, O Q = t b, O R = (1 - u) b + u c .

また

O G = \frac{a + b + c}{3}, O H = \frac{s a + ( t + 1 - u ) b + u c}{3} .

$O, G, H$ が同一直線上にあり、 $a, b, c$ は一次独立だから

s = t + 1 - u = u .

よって

s = u = \frac{t + 1}{2} .

各点は辺を内分するので $0 < t < 1$ である。したがって

\frac{1}{2} < s < 1 .

(2)

正四面体の1辺が1なので

∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = 1, a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = \frac{1}{2} .

$s = u = (t + 1) /2$ を代入して計算すると

∣ QP ∣^{2} = ∣ s a - t b ∣^{2} = \frac{3 t ^{2} + 1}{4},

QR = \frac{1 - 3 t}{2} b + \frac{t + 1}{2} c

より

∣ QR ∣^{2} = \frac{7 t ^{2} - 6 t + 3}{4} .

さらに

O P \cdot QR = \frac{1 - t ^{2}}{4} .

(3)

同じ内積表を使うと

QP \cdot QR = \frac{4 t ^{2} - 3 t + 1}{4} .

したがって

S^{2} = \frac{1}{4} (∣ QP ∣^{2} ∣ QR ∣^{2} - (QP \cdot QR)^{2}) = \frac{5 t ^{4} + 6 t ^{3} - t ^{2} + 2}{64} .

よって

S = \frac{1}{8} 5 t^{4} + 6 t^{3} - t^{2} + 2 .

根号内を $F (t)$ とおくと

F^{'} (t) = 20 t^{3} + 18 t^{2} - 2 t = 2 t (10 t - 1) (t + 1) .

$0 < t < 1$ で $F$ は $0 < t < 1/10$ で減少し、 $1/10 < t < 1$ で増加する。したがって

S が最小となるのは t = \frac{1}{10} .

解法2（三辺を求め、Heron型の恒等式を使う方法）

(1)

3 O H = s a + (t + 1 - u) b + u c

が $a + b + c$ と平行である。 $a, b, c$ は一次独立だから3係数は等しく、

s = t + 1 - u = u .

よって

s = u = \frac{t + 1}{2}, \frac{1}{2} < s < 1 .

(2)

∣ a ∣^{2} = ∣ b ∣^{2} = ∣ c ∣^{2} = 1, a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = \frac{1}{2}

を展開に用いる。すると

∣ QP ∣^{2} = \frac{3 t ^{2} + 1}{4}, ∣ QR ∣^{2} = \frac{7 t ^{2} - 6 t + 3}{4},

O P \cdot QR = \frac{1 - t ^{2}}{4} .

(3)

さらに

P R = - s a + (1 - s) b + s c

だから

∣ P R ∣^{2} = s^{2} + (1 - s)^{2} = \frac{t ^{2} + 1}{2} .

$X = P Q^{2}, Y = Q R^{2}, Z = R P^{2}$ とおくと、三辺と面積の恒等式

16 S^{2} = 2 (X Y + Y Z + Z X) - X^{2} - Y^{2} - Z^{2}

より

16 S^{2} = \frac{5 t ^{4} + 6 t ^{3} - t ^{2} + 2}{4} .

したがって

S = \frac{1}{8} 5 t^{4} + 6 t^{3} - t^{2} + 2 .

根号内の微分は

2 t (10 t - 1) (t + 1)

であるから、 $0 < t < 1$ での唯一の極小点は

t = \frac{1}{10}

である。

横浜国立大学 2022年度文理共通数学 第3問

問題

方針

解法1（基底ベクトルと内積を使う方法）

解法2（三辺を求め、Heron型の恒等式を使う方法）

解答

解法1（基底ベクトルと内積を使う方法）

(1)

(2)

(3)

解法2（三辺を求め、Heron型の恒等式を使う方法）

(1)

(2)

(3)

横浜国立大学 2022年度
文理共通数学第3問