広島大学 2019年度 前期理系数学 第2問

(1)
$P_4=(a_1-a_3,a_2-a_4)$ である。$P_4=O$ となるのは$$a_1=a_3,a_2=a_4$$のときである。$(a_1,a_2,a_3,a_4)$ は全部で $N^4$ 通り，この条件を満たすものは $N^2$ 通りだから，求める確率は$$\frac{1}{N^2}$$である。

(2)
条件は$$a_1-a_3\geqq 0,a_2-a_4\leqq 0$$すなわち $a_1\geqq a_3$，$a_2\leqq a_4$ である。一組 $(u,v)$ について $u\geqq v$ となる個数は $\frac{N(N+1)}{2}$ 通りであるから，求める確率は$${\left(\frac{N+1}{2N}\right)}^2=\frac{(N+1{)}^2}{4N^2}$$である。

(3)
直線 $y=x$ 上にある条件は$$a_2-a_4=a_1-a_3$$である。差が $d$ である組 $(a_1,a_3)$ の個数は，$-N+1\leqq d\leqq N-1$ に対して $N-\mathrm{\mid }d\mathrm{\mid }$ 通りである。したがって条件を満たす総数は$$N^2+2(1^2+2^2+\cdots +(N-1{)}^2)=\frac{N(2N^2+1)}{3}$$である。よって確率は$$\frac{2N^2+1}{3N^3}$$である。

(4)
$N=2^m$ とする。$P_4=O$ のとき $a_1=a_3$，$a_2=a_4$ であり，四角形 $P_1{P}_2{P}_3{P}_4$ は辺の長さが $a_1,a_2$ の長方形である。よって面積は $a_1{a}_2$ である。

$a_1{a}_2=2^m$ を満たす $(a_1,a_2)$ は$$(1,2^m),(2,2^{m-1}),\dots ,(2^m,1)$$の $m+1$ 通りである。したがって求める確率は$$\frac{m+1}{N^4}=\frac{m+1}{2^{4m}}$$である。

独立な差 $X=a_1-a_3$、$Y=a_2-a_4$ の確率分布を先に作る。差0、非負、2つの差が等しい、という各条件を同じ三角形分布から読み取る。

$X=a_1-a_3$、$Y=a_2-a_4$ とおく。$X,Y$ は独立で、$-N+1\leqq d\leqq N-1$ に対して$$\begin{array}{cccc}& \mathrm{Pr}(X=d)=\mathrm{Pr}(Y=d)=\frac{N-\mathrm{\mid }d\mathrm{\mid }}{N^2}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$(1)
$P_4=O$ は $X=Y=0$ と同値である。独立性と(1)より$$\mathrm{Pr}(X=0,Y=0)={\left(\frac{1}{N}\right)}^2=\frac{1}{N^2}\mathrm{.}$$(2)
差の分布は0について対称だから$$\mathrm{Pr}(X\geqq 0)=\frac{1+\mathrm{Pr}(X=0)}{2}=\frac{N+1}{2N}\mathrm{.}$$同様に $\mathrm{Pr}(Y\leqq 0)=(N+1)\mathrm{/}(2N)$ であり、独立性から$$\mathrm{Pr}(X\geqq 0,Y\leqq 0)=\frac{(N+1{)}^2}{4N^2}\mathrm{.}$$(3)
$P_4$ が $y=x$ 上にある条件は $X=Y$ である。(1)より$$\mathrm{Pr}(X=Y)=\sum _{d=-N+1}^{N-1}{\left(\frac{N-\mathrm{\mid }d\mathrm{\mid }}{N^2}\right)}^2=\frac{N^2+2\sum _{k=1}^{N-1}{k}^2}{N^4}\mathrm{.}$$平方和を計算して$$\mathrm{Pr}(X=Y)=\frac{2N^2+1}{3N^3}\mathrm{.}$$(4)
原点一致のとき $a_1=a_3$、$a_2=a_4$ で、四角形は縦 $a_2$、横 $a_1$ の長方形になる。$a_1{a}_2=2^m$ なら両方とも2の冪でなければならず$$(a_1,a_2)=(2^j,2^{m-j})(j=0,1,\dots ,m)$$の $m+1$ 通りである。全 $N^4=2^{4m}$ 通りから$$\frac{m+1}{2^{4m}}\mathrm{.}$$