広島大学 2019年度理系数学第2問解答・解説

問題

箱の中に $1$ から $N$ までの数が一つずつ書かれた $N$ 枚のカードが入っている．ただし， $N$ を $2$ 以上の自然数とする．「カードをよく混ぜて $1$ 枚取り出し，そのカードに書かれた数を読み取り，そのカードをもとに戻す」という試行を $4$ 回繰り返す． $1$ 回目， $2$ 回目， $3$ 回目および $4$ 回目に取り出したカードに書かれた数を，それぞれ $a_{1},$ $a_{2},$ $a_{3},$ $a_{4}$ とする．また，座標平面上に $4$ 点 $P_{1} (a_{1}, 0),$ $P_{2} (a_{1}, a_{2}),$ $P_{3} (a_{1} - a_{3}, a_{2}),$ $P_{4} (a_{1} - a_{3}, a_{2} - a_{4})$ を定める．次の問いに答えよ．

(1) $P_{4}$ が原点 $O (0, 0)$ に一致する確率を $N$ を用いて表せ．

(2) $P_{4}$ が連立不等式 $x ≧ 0 ， y ≦ 0$ の表す領域にある確率を $N$ を用いて表せ．

(3) $P_{4}$ が直線 $y = x$ 上にある確率を $N$ を用いて表せ．

(4) $N = 2^{m}$ とする．ただし， $m$ を自然数とする． $P_{4}$ が原点 $O$ に一致し，かつ，四角形 $P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}$ の面積が $2^{m}$ となる確率を $m$ を用いて表せ．

出典：広島大学 2019年度前期理系第2問

方針

解法1

$P_{4} = (a_{1} - a_{3}, a_{2} - a_{4})$ であることを使う。(1)(2) は二つの独立な大小条件に分ける。(3) は差 $a_{1} - a_{3}$ の値ごとに個数を足す。(4) は原点一致の条件下で面積 $a_{1} a_{2}$ を数える。

解法2

独立な差 $X = a_{1} - a_{3}$ 、 $Y = a_{2} - a_{4}$ の確率分布を先に作る。差0、非負、2つの差が等しい、という各条件を同じ三角形分布から読み取る。

解答

解法1

(1)

$P_{4} = (a_{1} - a_{3}, a_{2} - a_{4})$ である。 $P_{4} = O$ となるのは

a_{1} = a_{3}, a_{2} = a_{4}

のときである。 $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4})$ は全部で $N^{4}$ 通り，この条件を満たすものは $N^{2}$ 通りだから，求める確率は

\frac{1}{N ^{2}}

である。

(2)

条件は

a_{1} - a_{3} ≧ 0, a_{2} - a_{4} ≦ 0

すなわち $a_{1} ≧ a_{3}$ ， $a_{2} ≦ a_{4}$ である。一組 $(u, v)$ について $u ≧ v$ となる個数は $\frac{N ( N + 1 )}{2}$ 通りであるから，求める確率は

(\frac{N + 1}{2 N})^{2} = \frac{( N + 1 ) ^{2}}{4 N ^{2}}

である。

(3)

直線 $y = x$ 上にある条件は

a_{2} - a_{4} = a_{1} - a_{3}

である。差が $d$ である組 $(a_{1}, a_{3})$ の個数は， $- N + 1 ≦ d ≦ N - 1$ に対して $N - ∣ d ∣$ 通りである。したがって条件を満たす総数は

N^{2} + 2 (1^{2} + 2^{2} + \dots + (N - 1)^{2}) = \frac{N ( 2 N ^{2} + 1 )}{3}

である。よって確率は

\frac{2 N ^{2} + 1}{3 N ^{3}}

である。

(4)

$N = 2^{m}$ とする。 $P_{4} = O$ のとき $a_{1} = a_{3}$ ， $a_{2} = a_{4}$ であり，四角形 $P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}$ は辺の長さが $a_{1}, a_{2}$ の長方形である。よって面積は $a_{1} a_{2}$ である。

$a_{1} a_{2} = 2^{m}$ を満たす $(a_{1}, a_{2})$ は

(1, 2^{m}), (2, 2^{m - 1}), \dots, (2^{m}, 1)

の $m + 1$ 通りである。したがって求める確率は

\frac{m + 1}{N ^{4}} = \frac{m + 1}{2 ^{4 m}}

である。

解法2

$X = a_{1} - a_{3}$ 、 $Y = a_{2} - a_{4}$ とおく。 $X, Y$ は独立で、 $- N + 1 ≦ d ≦ N - 1$ に対して

Pr (X = d) = Pr (Y = d) = \frac{N - ∣ d ∣}{N ^{2}} . (1)

(1)

$P_{4} = O$ は $X = Y = 0$ と同値である。独立性と(1)より

Pr (X = 0, Y = 0) = (\frac{1}{N})^{2} = \frac{1}{N ^{2}} .

(2)

差の分布は0について対称だから

Pr (X ≧ 0) = \frac{1 + Pr ( X = 0 )}{2} = \frac{N + 1}{2 N} .

同様に $Pr (Y ≦ 0) = (N + 1) / (2 N)$ であり、独立性から

Pr (X ≧ 0, Y ≦ 0) = \frac{( N + 1 ) ^{2}}{4 N ^{2}} .

(3)

$P_{4}$ が $y = x$ 上にある条件は $X = Y$ である。(1)より

Pr (X = Y) = d = - N + 1 \sum N - 1 (\frac{N - ∣ d ∣}{N ^{2}})^{2} = \frac{N ^{2} + 2 \sum _{k = 1}^{N - 1} k ^{2}}{N ^{4}} .

平方和を計算して

Pr (X = Y) = \frac{2 N ^{2} + 1}{3 N ^{3}} .

(4)

原点一致のとき $a_{1} = a_{3}$ 、 $a_{2} = a_{4}$ で、四角形は縦 $a_{2}$ 、横 $a_{1}$ の長方形になる。 $a_{1} a_{2} = 2^{m}$ なら両方とも2の冪でなければならず

(a_{1}, a_{2}) = (2^{j}, 2^{m - j}) (j = 0, 1, \dots, m)

の $m + 1$ 通りである。全 $N^{4} = 2^{4 m}$ 通りから

\frac{m + 1}{2 ^{4 m}} .

広島大学 2019年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2019年度
理系数学第2問