広島大学 2019年度 前期理系数学 第3問

(1)
与式に $x=0$ を代入すると$$f(0)=1$$である。ここで$$g(x)=(1-x)\cos x+x\sin x,I(x)={\int }_0^x{e}^{x-t}f(t)dt$$とおくと，$f(x)=g(x)-I(x)$ である。また$$I^{\mathrm{\prime }}(x)=I(x)+f(x)=g(x)$$だから$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=g^{\mathrm{\prime }}(x)-I^{\mathrm{\prime }}(x)=g^{\mathrm{\prime }}(x)-g(x)$$である。$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=(x-1)\cos x+x\sin x$$ より$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x-1)\cos x$$である。

(2)
(1)より$$f(x)=1+{\int }_0^{x}2(t-1)\cos tdt=2(x-1)\sin x+2\cos x-1$$である。

(3)
$f(0)=1>0$，$f(\pi )=-3<0$ である。また $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x-1)\cos x$ だから，$0<x<1$ で減少，$$1<x<\frac{\pi }{2}$$ で増加，$$\frac{\pi }{2}<x<\pi$$ で減少する。

さらに $$1<\frac{\pi }{3}$$ なので $\cos 1>\frac{1}{2}$ であり，$f(1)=2\cos 1-1>0$ である。また $$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\pi -3>0$$ である。したがって $$0<x\leqq \frac{\pi }{2}$$ では $f(x)>0$ で，$$\frac{\pi }{2}<x<\pi$$ では $f$ は単調に減少し，端で符号が変わる。よって方程式 $f(x)=0$ は $0<x<\pi$ にただ一つの解をもつ。

(4)
(3)の解を $\alpha$ とすると，$0\leqq x<\alpha$ で $f(x)>0$，$\alpha <x\leqq \pi$ で $f(x)<0$ である。したがって$$S_1-S_2={\int }_0^{\pi }f(x)dx$$である。ここで$${\int }_0^{\pi }f(x)dx={[2\{-(x-1)\cos x+\sin x\}+2\sin x-x]}_0^{\pi }=\pi -4$$である。$\pi <4$ より $S_1-S_2<0$ であるから$$S_1<S_2$$である。

積分核 $e^{x-t}$ を消すために与式全体へ $e^{-x}$ を掛ける。積分方程式を微分可能な形へ直した後、増減と符号付き面積をグラフで確認する。

$$g(x)=(1-x)\cos x+x\sin x$$、$F(x)=e^{-x}f(x)$、$G(x)=e^{-x}g(x)$ とおく。

(1)
$x=0$ を代入して $f(0)=1$ である。また与式へ $e^{-x}$ を掛けると$$F(x)=G(x)-{\int }_0^{x}F(t)dt\mathrm{.}$$右辺は微分可能なので $F$、したがって $f$ も微分可能であり$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=G^{\mathrm{\prime }}(x)-F(x)\mathrm{.}$$$F^{\mathrm{\prime }}=e^{-x}(f^{\mathrm{\prime }}-f)$、$G^{\mathrm{\prime }}=e^{-x}(g^{\mathrm{\prime }}-g)$ を代入すると $f^{\mathrm{\prime }}=g^{\mathrm{\prime }}-g$。計算して$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x-1)\cos x\mathrm{.}$$(2)
初期値から積分して$$f(x)=1+{\int }_0^{x}2(t-1)\cos tdt=2(x-1)\sin x+2\cos x-1.$$(3)
$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2(x-1)\cos x$ の符号より、$f$ は $(0,1)$ で減少、$(1,\pi \mathrm{/}2)$ で増加、$(\pi \mathrm{/}2,\pi )$ で減少する。$$f(1)=2\cos 1-1>0,f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\pi -3>0,f(\pi )=-3<0.$$よって前半では正のままで、最後の減少区間にだけ零点が1つある。これを $\alpha$ とする。

(4)
図の符号から$$S_1-S_2={\int }_0^{\pi }f(x)dx\mathrm{.}$$ここで$${\int }_0^{\pi }f(x)dx=\pi -4<0$$であるから $S_1<S_2$ である。