広島大学 2019年度理系数学第3問解答・解説

問題

関数 $f (x)$ は実数全体で連続で，すべての実数 $x$ に対して

f (x) = (1 - x) cos x + x sin x - \int_{0}^{x} e^{x - t} f (t) d t

を満たすとする．ただし， $e$ は自然対数の底である．次の問いに答えよ．

(1) $f (0)$ の値を求めよ．また， $f^{^{'}} (x) = 2 (x - 1) cos x$ が成り立つことを示せ．

(2) $f (x)$ を求めよ．

(3) 方程式 $f (x) = 0$ は， $0 < x < π$ の範囲にただ一つの解をもつことを示せ．

(4) (3)のただ一つの解を $α$ とする．曲線 $y = f (x)$ $（ 0 ≦ x ≦ α ），$ $x$ 軸および $y$ 軸によって囲まれる部分の面積を $S_{1}$ とし，曲線 $y = f (x)$ $（ α ≦ x ≦ π ），$ $x$ 軸および直線 $x = π$ によって囲まれる部分の面積を $S_{2}$ とする． $S_{1}$ と $S_{2}$ の大小を判定せよ．

出典：広島大学 2019年度前期理系第3問

方針

解法1

積分部分を補助関数とおき、微分して $f^{'} (x)$ を求める。初期値から $f$ を決定し、増減と符号で零点の一意性を示す。最後に、両面積の差を曲線の符号付き面積として評価する。

解法2

積分核 $e^{x - t}$ を消すために与式全体へ $e^{- x}$ を掛ける。積分方程式を微分可能な形へ直した後、増減と符号付き面積をグラフで確認する。

解答

解法1

(1)

与式に $x = 0$ を代入すると

f (0) = 1

である。ここで

g (x) = (1 - x) cos x + x sin x, I (x) = \int_{0}^{x} e^{x - t} f (t) d t

とおくと， $f (x) = g (x) - I (x)$ である。また

I^{'} (x) = I (x) + f (x) = g (x)

だから

f^{'} (x) = g^{'} (x) - I^{'} (x) = g^{'} (x) - g (x)

である。 $g^{'} (x) = (x - 1) cos x + x sin x$ より

f^{'} (x) = 2 (x - 1) cos x

である。

(2)

(1)より

f (x) = 1 + \int_{0}^{x} 2 (t - 1) cos t d t = 2 (x - 1) sin x + 2 cos x - 1

である。

(3)

$f (0) = 1 > 0$ ， $f (π) = - 3 < 0$ である。また $f^{'} (x) = 2 (x - 1) cos x$ だから， $0 < x < 1$ で減少， $1 < x < \frac{π}{2}$ で増加， $\frac{π}{2} < x < π$ で減少する。

さらに $1 < \frac{π}{3}$ なので $cos 1 > \frac{1}{2}$ であり， $f (1) = 2 cos 1 - 1 > 0$ である。また $f (\frac{π}{2}) = π - 3 > 0$ である。したがって $0 < x ≦ \frac{π}{2}$ では $f (x) > 0$ で， $\frac{π}{2} < x < π$ では $f$ は単調に減少し，端で符号が変わる。よって方程式 $f (x) = 0$ は $0 < x < π$ にただ一つの解をもつ。

(4)

(3)の解を $α$ とすると， $0 ≦ x < α$ で $f (x) > 0$ ， $α < x ≦ π$ で $f (x) < 0$ である。したがって

S_{1} - S_{2} = \int_{0}^{π} f (x) d x

である。ここで

\int_{0}^{π} f (x) d x = [2 {- (x - 1) cos x + sin x} + 2 sin x - x]_{0}^{π} = π - 4

である。 $π < 4$ より $S_{1} - S_{2} < 0$ であるから

S_{1} < S_{2}

である。

解法2

$g (x) = (1 - x) cos x + x sin x$ 、 $F (x) = e^{- x} f (x)$ 、 $G (x) = e^{- x} g (x)$ とおく。

(1)

$x = 0$ を代入して $f (0) = 1$ である。また与式へ $e^{- x}$ を掛けると

F (x) = G (x) - \int_{0}^{x} F (t) d t .

右辺は微分可能なので $F$ 、したがって $f$ も微分可能であり

F^{'} (x) = G^{'} (x) - F (x) .

$F^{'} = e^{- x} (f^{'} - f)$ 、 $G^{'} = e^{- x} (g^{'} - g)$ を代入すると $f^{'} = g^{'} - g$ 。計算して

f^{'} (x) = 2 (x - 1) cos x .

(2)

初期値から積分して

f (x) = 1 + \int_{0}^{x} 2 (t - 1) cos t d t = 2 (x - 1) sin x + 2 cos x - 1.

(3)

$f^{'} (x) = 2 (x - 1) cos x$ の符号より、 $f$ は $(0, 1)$ で減少、 $(1, π /2)$ で増加、 $(π /2, π)$ で減少する。

f (1) = 2 cos 1 - 1 > 0, f (\frac{π}{2}) = π - 3 > 0, f (π) = - 3 < 0.

よって前半では正のままで、最後の減少区間にだけ零点が1つある。これを $α$ とする。

(4)

図の符号から

S_{1} - S_{2} = \int_{0}^{π} f (x) d x .

ここで

\int_{0}^{π} f (x) d x = π - 4 < 0

であるから $S_{1} < S_{2}$ である。

広島大学 2019年度理系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2019年度
理系数学第3問