広島大学 2019年度理系数学第4問解答・解説

問題

$i$ を虚数単位とし，複素数 $z$ に対して， $w = z^{2} + 2 z + 1 - 2 i$ とおく．次の問いに答えよ．

(1) $w$ の実部が $0$ となる複素数 $z$ 全体を複素数平面上に図示せよ．

(2) $w = 0$ を満たす複素数 $z$ の個数は $2$ 個であることを証明し，それぞれを $a + bi$ （ $a,$ $b$ は実数）の形に書き表せ．

(3) (2)で求めた二つの複素数のうち実部の大きい方を $α,$ 実部の小さい方を $β$ とし，対応する複素数平面上の点をそれぞれ $A,$ $B$ とする．また，線分 $A B$ の中点を $M$ とする．複素数 $z$ に対応する複素数平面上の点が，線分 $A M$ 上（両端を含む）を動くとき，複素数 $w$ の描く図形を複素数平面上に図示せよ．

(4) 複素数 $z$ に対応する複素数平面上の点が，点 $A$ を通り線分 $A B$ に垂直な直線上を動くとき，複素数 $w$ の描く図形を複素数平面上に図示せよ．

出典：広島大学 2019年度前期理系第4問

方針

解法1

$z = x + y i$ として $w$ の実部・虚部を計算する。平方根は $z + 1 = u + v i$ と置いて実部虚部比較で求める。線分や直線上の点は実パラメータで表し， $w$ の軌跡を座標で読む。

解法2

平行移動 $u = z + 1$ により写像を $w = u^{2} - 2 i$ と単純化する。 $u$ 平面上の直線・線分を実数パラメータで表し、平方後の実部・虚部から軌跡を読む。

解答

解法1

(1)

$z = x + y i$ とおくと

w = (x + 1 + y i)^{2} - 2 i

であるから， $w$ の実部は $(x + 1)^{2} - y^{2}$ である。よって実部が $0$ となる点は

y = x + 1 または y = - x - 1

を満たす。したがって，求める図形はこの二直線である。

(2)

$w = 0$ は $(z + 1)^{2} = 2 i$ と同値である。 $z + 1 = u + v i$ とおくと

u^{2} - v^{2} = 0, 2 uv = 2

である。 $u^{2} = v^{2}$ より $u = v$ または $u = - v$ であるが， $uv = 1$ より $u = - v$ は不可能である。したがって $u = v$ ， $u^{2} = 1$ であり，

z = i, z = - 2 - i

を得る。よって解は2個である。

(3)

実部の大きい方は $α = i$ ，小さい方は $β = - 2 - i$ である。線分 $A B$ の中点は $M$ に対応する複素数 $- 1$ である。点が線分 $A M$ 上を動くとき，実数 $s$ を用いて

z = i + s (- 1 - i) (0 ≦ s ≦ 1)

と表せる。このとき

z + 1 = (1 - s) (1 + i)

であるから

w = 2 {(1 - s)^{2} - 1} i

である。よって $w$ は虚軸上を動き，実部は $0$ ，虚部は $0$ から $- 2$ までの値をとる。すなわち， $0$ と $- 2 i$ を結ぶ線分である。

(4)

点 $A$ を通り線分 $A B$ に垂直な直線は，実数 $s$ を用いて

z = i + s (1 - i)

と表せる。このとき

z + 1 = (1 + s) + (1 - s) i

であるから

w = 4 s - 2 s^{2} i

である。 $w = X + Y i$ と書くと $X = 4 s$ ， $Y = - 2 s^{2}$ なので

Y = - \frac{X ^{2}}{8}

である。したがって，求める図形は原点を頂点とし，虚部が負の向きに開く放物線である。

解法2

$u = z + 1$ とおくと

w = u^{2} - 2 i . (1)

この平行移動と各軌跡をまとめると次図のようになる。

(1)

$u = X + Y i$ とすると $Re (u^{2}) = X^{2} - Y^{2}$ である。(1)より $w$ の実部が0となる条件は

X^{2} - Y^{2} = 0 ⟺ Y = \pm X .

$X = x + 1, Y = y$ へ戻して、 $z$ 平面上の2直線

y = x + 1, y = - x - 1

を得る。

(2)

$w = 0$ は $u^{2} = 2 i = (1 + i)^{2}$ だから

u = \pm (1 + i) .

$z = u - 1$ より、異なる2解は $z = i, - 2 - i$ である。

(3)

$A$ から $M$ まででは

u = (1 - s) (1 + i) (0 ≦ s ≦ 1) .

よって

w = 2 {(1 - s)^{2} - 1} i .

虚部は0から $- 2$ まで連続に動くので、軌跡は $0$ と $- 2 i$ を結ぶ線分である。

(4)

$A B$ の方向は $1 + i$ なので、これに垂直な方向は $1 - i$ である。したがって

u = (1 + i) + s (1 - i) = (1 + s) + (1 - s) i (s \in R) .

(1)へ代入して

w = 4 s - 2 s^{2} i .

$w = X + Y i$ と書けば $X = 4 s, Y = - 2 s^{2}$ だから

Y = - \frac{X ^{2}}{8} .

よって軌跡は原点を頂点として虚軸の負方向へ開く放物線である。

広島大学 2019年度理系数学 第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2019年度
理系数学第4問