広島大学 2020年度理系数学第2問解答・解説

問題

$i$ を虚数単位とする。 $z \neq = - 1$ を満たす複素数 $z$ に対し、

w = \frac{z - i}{z + 1}

とおく。次の問いに答えよ。

(1) $z \neq = - 1$ のとき $w \neq = 1$ であることを示せ。また、 $w \neq = 1$ のとき、 $z$ を $w$ を用いて表せ。

(2) $t$ を $- 1$ と異なる実数とする。複素数平面において、実部が $t$ である複素数全体の描く直線を $l_{t}$ とおく。点 $z$ が直線 $l_{t}$ 上を動くとき、点 $w$ はある円 $S_{t}$ から1点を取り除いた図形の上を動く。この円 $S_{t}$ の中心 $P_{t}$ に対応する複素数を $t$ を用いて表せ。

(3) $P_{t}$ を (2) で定義した点とする。 $t$ が $- 1$ 以外の実数全体を動くときに $P_{t}$ が描く図形を、複素数平面上に図示せよ。

出典：広島大学 2020年度前期理系第2問

方針

解法1（実部・虚部に分けて円の中心を読む）

(1)で一次分数式を逆に解く。(2)では $w = u + v i$ とおき、 $z = (w + i) / (1 - w)$ の実部が $t$ である条件を円の方程式へ整理する。(3)は中心座標から $t$ を消去し、除外点も確認する。

解法2（複素共役で円の方程式を作る）

直線 $l_{t}$ を $z + \overline{z} = 2 t$ と表し、逆変換した $z, \overline{z}$ を代入する。得られた式を $w = u + v i$ で標準形に直して中心を読み、最後は中心の実部と虚部の差をとって軌跡を決める。

解答

解法1（実部・虚部に分けて円の中心を読む）

(1)

もし $w = 1$ ならば

\frac{z - i}{z + 1} = 1

より $- i = 1$ となり矛盾する。よって $w \neq = 1$ である。また

w (z + 1) = z - i

を $z$ について解くと

z = \frac{w + i}{1 - w} .

(2)

$w = u + v i$ とおく。分母を実数化すると、 $z$ の実部は

\frac{u ( 1 - u ) - v ( v + 1 )}{( 1 - u ) ^{2} + v ^{2}}

である。これが $t$ に等しいから

(t + 1) (u^{2} + v^{2}) - (2 t + 1) u + v + t = 0.

$t \neq = - 1$ なので円を表し、その中心は

(\frac{2 t + 1}{2 ( t + 1 )}, - \frac{1}{2 ( t + 1 )}) .

したがって $P_{t}$ に対応する複素数は

\frac{2 t + 1}{2 ( t + 1 )} - \frac{1}{2 ( t + 1 )} i .

(3)

中心の座標を $(X, Y)$ とすると

X = 1 - \frac{1}{2 ( t + 1 )}, Y = - \frac{1}{2 ( t + 1 )} .

よって

Y = X - 1.

また $t \neq = - 1$ より $Y \neq = 0$ である。したがって軌跡は直線 $Y = X - 1$ から点 $(1, 0)$ を除いたものである。

解法2（複素共役で円の方程式を作る）

(1)

$w = 1$ を仮定すると $z - i = z + 1$ となって矛盾する。また式を交差に掛けて整理すれば

z = \frac{w + i}{1 - w} .

(2)

$z$ の実部が $t$ であることは

z + \overline{z} = 2 t

と同値である。(1)から

z = \frac{w + i}{1 - w}, \overline{z} = \frac{w - i}{1 - w} .

これらを代入し、 $w = u + v i$ とおいて整理すると

(t + 1) (u^{2} + v^{2}) - (2 t + 1) u + v + t = 0.

平方完成すれば

(u - \frac{2 t + 1}{2 ( t + 1 )})^{2} + (v + \frac{1}{2 ( t + 1 )})^{2} = \frac{1}{2 ( t + 1 ) ^{2}} .

よって中心に対応する複素数は

\frac{2 t + 1}{2 ( t + 1 )} - \frac{1}{2 ( t + 1 )} i .

なお逆変換の条件 $w \neq = 1$ により、円から点1が除かれる。

(3)

中心を $X + Y i$ とすると

X - Y = 1, Y \neq = 0.

したがって $P_{t}$ の軌跡は

Y = X - 1

から $(1, 0)$ を除いた直線である。

広島大学 2020年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1（実部・虚部に分けて円の中心を読む）

解法2（複素共役で円の方程式を作る）

解答

解法1（実部・虚部に分けて円の中心を読む）

(1)

(2)

(3)

解法2（複素共役で円の方程式を作る）

(1)

(2)

(3)

広島大学 2020年度
理系数学第2問