広島大学 2020年度 前期理系数学 第2問

(1)

もし $w=1$ ならば$$\frac{z-i}{z+1}=1$$より $-i=1$ となり矛盾する。よって $w\mathrm{\ne }1$ である。また$$w(z+1)=z-i$$を $z$ について解くと$$z=\frac{w+i}{1-w}\mathrm{.}$$(2)

$w=u+vi$ とおく。分母を実数化すると、$z$ の実部は$$\frac{u(1-u)-v(v+1)}{(1-u{)}^2+v^2}$$である。これが $t$ に等しいから$$(t+1)(u^2+v^2)-(2t+1)u+v+t=0.$$$t\mathrm{\ne }-1$ なので円を表し、その中心は$$(\frac{2t+1}{2(t+1)},-\frac{1}{2(t+1)})\mathrm{.}$$したがって $P_t$ に対応する複素数は$$\frac{2t+1}{2(t+1)}-\frac{1}{2(t+1)}i\mathrm{.}$$(3)

中心の座標を $(X,Y)$ とすると$$X=1-\frac{1}{2(t+1)},Y=-\frac{1}{2(t+1)}\mathrm{.}$$よって$$Y=X-1.$$また $t\mathrm{\ne }-1$ より $Y\mathrm{\ne }0$ である。したがって軌跡は直線 $Y=X-1$ から点 $(1,0)$ を除いたものである。

直線 $l_t$ を $z+\bar{z}=2t$ と表し、逆変換した $z,\bar{z}$ を代入する。得られた式を $w=u+vi$ で標準形に直して中心を読み、最後は中心の実部と虚部の差をとって軌跡を決める。

(1)

$w=1$ を仮定すると $z-i=z+1$ となって矛盾する。また式を交差に掛けて整理すれば$$z=\frac{w+i}{1-w}\mathrm{.}$$(2)

$z$ の実部が $t$ であることは$$z+\bar{z}=2t$$と同値である。(1)から$$z=\frac{w+i}{1-w},\bar{z}=\frac{\bar{w}-i}{1-\bar{w}}\mathrm{.}$$これらを代入し、$w=u+vi$ とおいて整理すると$$(t+1)(u^2+v^2)-(2t+1)u+v+t=0.$$平方完成すれば$${(u-\frac{2t+1}{2(t+1)})}^2+{(v+\frac{1}{2(t+1)})}^2=\frac{1}{2(t+1{)}^2}\mathrm{.}$$よって中心に対応する複素数は$$\frac{2t+1}{2(t+1)}-\frac{1}{2(t+1)}i\mathrm{.}$$なお逆変換の条件 $w\mathrm{\ne }1$ により、円から点1が除かれる。

(3)

中心を $X+Yi$ とすると$$X-Y=1,Y\mathrm{\ne }0.$$したがって $P_t$ の軌跡は$$Y=X-1$$から $(1,0)$ を除いた直線である。