広島大学 2020年度理系数学第3問解答・解説

問題

関数

f (x) = x e^{- 2 x^{2}}

について、次の問いに答えよ。ただし、 $e$ は自然対数の底とする。

(1) 関数 $f (x)$ の極大値および極小値を求めよ。また、それぞれをとるときの $x$ の値を求めよ。

(2) $a > 0$ とし、点 $A (a, 0)$ を考える。曲線 $y = f (x)$ 上の点 $(t, f (t))$ における接線を $l_{t}$ とおく。 $l_{t}$ が点 $A$ を通るような実数 $t$ がちょうど2つあるとする。このとき、 $a$ の値を求めよ。さらに、その2つの $t$ の値を $p, q$ （ただし $p < q$ ）とおくとき、 $p, q$ を求めよ。

(3) $q$ を (2) で定めた値とする。曲線 $y = f (x)$ 、直線 $x = q$ および $x$ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

出典：広島大学 2020年度前期理系第3問

方針

解法1（接線条件を関数の増減で調べる）

(1)は導関数の符号を調べる。(2)は接線が $(a, 0)$ を通る条件を $a = h (t)$ の形へ直し、2つの定義域の枝で交点数を数える。正の枝の最小値が水平線と接するときに解が2個となる。(3)は得られた $q$ まで直接積分する。

解法2（三次式と導関数の共通根を使う）

接線条件を $t$ の三次方程式へ移す。実数解がちょうど2個なら三次式は重解をもち、その重解は導関数との共通根である。共通根を代入して $a$ を決め、因数分解によって2つの接点を確定する。

解答

解法1（接線条件を関数の増減で調べる）

(1)

f^{'} (x) = (1 - 4 x^{2}) e^{- 2 x^{2}} .

指数関数の部分は常に正だから、 $f^{'} (x)$ の符号は $1 - 4 x^{2}$ で決まる。よって

x = - \frac{1}{2}

で極小値

- \frac{1}{2} e^{- 1/2}

をとり、

x = \frac{1}{2}

で極大値

\frac{1}{2} e^{- 1/2}

をとる。

(2)

接線が $(a, 0)$ を通る条件は

- f (t) = f^{'} (t) (a - t) .

整理すると

a = \frac{4 t ^{3}}{4 t ^{2} - 1} =: h (t) .

ここで

h^{'} (t) = \frac{4 t ^{2} ( 4 t ^{2} - 3 )}{( 4 t ^{2} - 1 ) ^{2}} .

$a > 0$ となるのは $- 1/2 < t < 0$ と $t > 1/2$ である。前者では $h (t)$ は $+ \infty$ から0まで単調に減少するため、どの $a > 0$ に対しても解が1つある。後者では

t = \frac{3}{2}

で最小値

h (\frac{3}{2}) = \frac{3 3}{4}

をとる。したがって全体の解がちょうど2個になるのは、正の枝で水平線が接するとき、すなわち

a = \frac{3 3}{4}

である。関係は次の模式図で確認できる。

この $a$ を代入して因数分解すると

4 (t - \frac{3}{2})^{2} (t + \frac{3}{4}) = 0.

よって

p = - \frac{3}{4}, q = \frac{3}{2} .

(3)

$0 ≦ x ≦ q$ では $f (x) ≧ 0$ だから、求める面積は

\int_{0}^{q} x e^{- 2 x^{2}} d x = [- \frac{1}{4} e^{- 2 x^{2}}]_{0}^{q} = \frac{1}{4} (1 - e^{- 3/2}) .

解法2（三次式と導関数の共通根を使う）

(1)

f^{'} (x) = (1 - 4 x^{2}) e^{- 2 x^{2}}

より、極小は

x = - \frac{1}{2}, f (x) = - \frac{1}{2} e^{- 1/2},

極大は

x = \frac{1}{2}, f (x) = \frac{1}{2} e^{- 1/2}

である。

(2)

接線が $A (a, 0)$ を通る条件を整理し、

F (t) = 4 t^{3} - 4 a t^{2} + a = 0

とおく。実数解がちょうど2つなら、三次式 $F (t)$ は重解をもつ。その重解は

F^{'} (t) = 4 t (3 t - 2 a) = 0

も満たす。 $t = 0$ では $F (0) = a > 0$ だから、重解は

t = \frac{2 a}{3}

である。これを $F (t) = 0$ に代入すると

F (\frac{2 a}{3}) = a (1 - \frac{16 a ^{2}}{27}) = 0.

$a > 0$ より

a = \frac{3 3}{4} .

このとき

F (t) = 4 (t - \frac{3}{2})^{2} (t + \frac{3}{4})

となり、実際に異なる実数解は2つである。したがって

p = - \frac{3}{4}, q = \frac{3}{2} .

(3)

\int_{0}^{3 /2} x e^{- 2 x^{2}} d x = [- \frac{1}{4} e^{- 2 x^{2}}]_{0}^{3 /2} = \frac{1}{4} (1 - e^{- 3/2}) .

広島大学 2020年度理系数学 第3問

問題

方針

解法1（接線条件を関数の増減で調べる）

解法2（三次式と導関数の共通根を使う）

解答

解法1（接線条件を関数の増減で調べる）

(1)

(2)

(3)

解法2（三次式と導関数の共通根を使う）

(1)

(2)

(3)

広島大学 2020年度
理系数学第3問