広島大学 2020年度 前期理系数学 第5問

(1)

正の整数解 $a_1+a_2+a_3=7$ を順序も区別して型ごとに数える。$$\{1,1,5\},\{1,2,4\},\{1,3,3\},\{2,2,3\}$$の並べ方はそれぞれ $3,6,3,3$ 通りで、合計15通りである。したがって$$P(a_1+a_2+a_3=7)=\frac{15}{216}=\frac{5}{72}\mathrm{.}$$(2)

硬貨が表の場合、または硬貨が裏で $a_1=1$ の場合を足して$$P(b_1=1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}=\frac{7}{12}\mathrm{.}$$(3)

3成分は独立だから$$P(\vec{b}=(1,1,1))={\left(\frac{7}{12}\right)}^3=\frac{343}{1728}\mathrm{.}$$$\vec{a}=(1,1,5)$ のもとでは、3回目の硬貨だけ表であればよい。よって$$P(\vec{a}=(1,1,5),\vec{b}=(1,1,1))=\frac{1}{216}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{432}\mathrm{.}$$したがって$$P(\vec{a}=(1,1,5)\mid \vec{b}=(1,1,1))=\frac{1\mathrm{/}432}{343\mathrm{/}1728}=\frac{4}{343}\mathrm{.}$$(4)

和が7になる三つ組を、成分に含まれる1の個数で分類する。$$\begin{array}{ccc}1\text{ の個数}& \text{三つ組の個数}& \vec{b}=(1,1,1)\text{ となる硬貨の確率}\\ 2& 3& 1\mathrm{/}2\\ 1& 9& 1\mathrm{/}4\\ 0& 3& 1\mathrm{/}8\end{array}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle P(a_1+a_2+a_3=7,\vec{b}=(1,1,1))}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{216}(3\cdot \frac{1}{2}+9\cdot \frac{1}{4}+3\cdot \frac{1}{8})=\frac{33}{1728}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって条件付き確率は$$\frac{33\mathrm{/}1728}{343\mathrm{/}1728}=\frac{33}{343}\mathrm{.}$$

1成分について $b_k=1$ が観測された後のさいころの目の分布を作る。目1の確率は $2\mathrm{/}7$、目2から6は各 $1\mathrm{/}7$ となる。条件後も成分は独立なので、固定ベクトルと和が7の確率をこの分布で計算する。

(1)

和が7になる順序付き三つ組は15通りだから$$P(a_1+a_2+a_3=7)=\frac{15}{6^3}=\frac{5}{72}\mathrm{.}$$(2)$$P(b_1=1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}=\frac{7}{12}\mathrm{.}$$(3)

条件 $b_k=1$ のもとで$$P(a_k=1\mid b_k=1)=\frac{2}{7},$$$$P(a_k=j\mid b_k=1)=\frac{1}{7}(j=2,3,4,5,6)\mathrm{.}$$各成分は条件後も独立だから$$P(\vec{a}=(1,1,5)\mid \vec{b}=(1,1,1))=\frac{2}{7}\cdot \frac{2}{7}\cdot \frac{1}{7}=\frac{4}{343}\mathrm{.}$$(4)

和が7になる三つ組のうち、1を2個含む3通りは各確率 $4\mathrm{/}343$、1を1個含む9通りは各確率 $2\mathrm{/}343$、1を含まない3通りは各確率 $1\mathrm{/}343$ である。したがって$$P(a_1+a_2+a_3=7\mid \vec{b}=(1,1,1))=\frac{3\cdot 4+9\cdot 2+3\cdot 1}{343}=\frac{33}{343}\mathrm{.}$$