広島大学 2020年度理系数学第5問解答・解説

問題

1個のさいころを3回投げ、1回目に出た目を $a_{1}$ 、2回目に出た目を $a_{2}$ 、3回目に出た目を $a_{3}$ とする。次に、1枚の硬貨を3回投げる。 $k = 1, 2, 3$ に対し、 $k$ 回目に表が出た場合は $b_{k} = 1$ 、裏が出た場合は $b_{k} = a_{k}$ とおく。ベクトル

a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})

を考える。次の問いに答えよ。

(1) $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 7$ である確率を求めよ。

(2) $b_{1} = 1$ である確率を求めよ。

(3) $b = (1, 1, 1)$ であったとき、 $a = (1, 1, 5)$ である条件付き確率を求めよ。

(4) $b = (1, 1, 1)$ であったとき、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 7$ である条件付き確率を求めよ。

出典：広島大学 2020年度前期理系第5問

方針

解法1（1の個数で重み付き分類をする）

条件 $b = (1, 1, 1)$ の確率を先に求める。分子では、和が7になる三つ組を成分に含まれる1の個数で分類する。1の成分では硬貨の表裏が自由で、1以外の成分では表だけが許されることを重みとして掛ける。

解法2（条件後の各成分の分布を使う）

1成分について $b_{k} = 1$ が観測された後のさいころの目の分布を作る。目1の確率は $2/7$ 、目2から6は各 $1/7$ となる。条件後も成分は独立なので、固定ベクトルと和が7の確率をこの分布で計算する。

解答

解法1（1の個数で重み付き分類をする）

(1)

正の整数解 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 7$ を順序も区別して型ごとに数える。

{1, 1, 5}, {1, 2, 4}, {1, 3, 3}, {2, 2, 3}

の並べ方はそれぞれ $3, 6, 3, 3$ 通りで、合計15通りである。したがって

P (a_{1} + a_{2} + a_{3} = 7) = \frac{15}{216} = \frac{5}{72} .

(2)

硬貨が表の場合、または硬貨が裏で $a_{1} = 1$ の場合を足して

P (b_{1} = 1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{7}{12} .

(3)

3成分は独立だから

P (b = (1, 1, 1)) = (\frac{7}{12})^{3} = \frac{343}{1728} .

$a = (1, 1, 5)$ のもとでは、3回目の硬貨だけ表であればよい。よって

P (a = (1, 1, 5), b = (1, 1, 1)) = \frac{1}{216} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{432} .

したがって

P (a = (1, 1, 5) ∣ b = (1, 1, 1)) = \frac{1/432}{343/1728} = \frac{4}{343} .

(4)

和が7になる三つ組を、成分に含まれる1の個数で分類する。

1 の個数 210 三つ組の個数 393 b = (1, 1, 1) となる硬貨の確率 1/2 1/4 1/8

よって

P (a_{1} + a_{2} + a_{3} = 7, b = (1, 1, 1)) = \frac{1}{216} (3 \cdot \frac{1}{2} + 9 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{8}) = \frac{33}{1728} .

したがって条件付き確率は

\frac{33/1728}{343/1728} = \frac{33}{343} .

解法2（条件後の各成分の分布を使う）

(1)

和が7になる順序付き三つ組は15通りだから

P (a_{1} + a_{2} + a_{3} = 7) = \frac{15}{6 ^{3}} = \frac{5}{72} .

(2)

P (b_{1} = 1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{7}{12} .

(3)

条件 $b_{k} = 1$ のもとで

P (a_{k} = 1 ∣ b_{k} = 1) = \frac{2}{7},

P (a_{k} = j ∣ b_{k} = 1) = \frac{1}{7} (j = 2, 3, 4, 5, 6) .

各成分は条件後も独立だから

P (a = (1, 1, 5) ∣ b = (1, 1, 1)) = \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{7} = \frac{4}{343} .

(4)

和が7になる三つ組のうち、1を2個含む3通りは各確率 $4/343$ 、1を1個含む9通りは各確率 $2/343$ 、1を含まない3通りは各確率 $1/343$ である。したがって

P (a_{1} + a_{2} + a_{3} = 7 ∣ b = (1, 1, 1)) = \frac{3 \cdot 4 + 9 \cdot 2 + 3 \cdot 1}{343} = \frac{33}{343} .

広島大学 2020年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1（1の個数で重み付き分類をする）

解法2（条件後の各成分の分布を使う）

解答

解法1（1の個数で重み付き分類をする）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（条件後の各成分の分布を使う）

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2020年度
理系数学第5問