広島大学 2020年度 前期理系数学 第4問

(1) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{n}}\sin nxdx}& {\displaystyle ={[-\frac{\cos nx}{n}]}_0^{\frac{\pi }{n}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2}{n}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)

$u=nx$ とおくと$${\int }_0^{\pi }\mathrm{\mid }\sin nx\mathrm{\mid }dx=\frac{1}{n}{\int }_0^{n\pi }\mathrm{\mid }\sin u\mathrm{\mid }du\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }\sin u\mathrm{\mid }$ は周期 $\pi$ で、1周期の積分は2だから$${\int }_0^{\pi }\mathrm{\mid }\sin nx\mathrm{\mid }dx=2.$$(3)

1周期で見ると、回転半径は次図の青線、すなわち $1\mathrm{/}2$ と $\sin u$ の小さい方である。

周期性により、体積は$$V=\pi {\int }_0^{\pi }\min (\frac{1}{4},{\sin }^{2}u)du\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{V}{\pi }}& {\displaystyle =2{\int }_0^{\pi \mathrm{/}6}{\sin }^{2}udu+\frac{1}{4}\cdot \frac{2\pi }{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$V=\pi (\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4})\mathrm{.}$$(4)

回転半径の二乗は $x{\sin }^{2}nx$ だから$$W=\pi {\int }_0^{\pi }x{\sin }^{2}nxdx\mathrm{.}$$倍角公式より$${\int }_0^{\pi }x{\sin }^{2}nxdx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }xdx-\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }x\cos 2nxdx\mathrm{.}$$部分積分により後者は0となるので$$W=\pi \cdot \frac{{\pi }^2}{4}=\frac{{\pi }^3}{4}\mathrm{.}$$

(1) (2)は半波ごとの面積を数える。(3)は各半波が左右対称であることから端の積分を2倍する。(4)は $F(x)={\sin }^{2}nx$ が $F(\pi -x)=F(x)$ を満たすことを使い、$x$ の一次因子を平均値 $\pi \mathrm{/}2$ に置き換える。

(1)

区間 $[0,\pi \mathrm{/}n]$ は $\sin nx$ の正の半波1個分であるから$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}n}\sin nxdx=\frac{2}{n}\mathrm{.}$$(2)

$[0,\pi ]$ には $\mathrm{\mid }\sin nx\mathrm{\mid }$ の同じ半波が $n$ 個あり、各面積は $2\mathrm{/}n$ である。よって$${\int }_0^{\pi }\mathrm{\mid }\sin nx\mathrm{\mid }dx=n\cdot \frac{2}{n}=2.$$(3)

各半波で $\mathrm{\mid }\sin nx\mathrm{\mid }=1\mathrm{/}2$ となる点は、端から長さ $\pi \mathrm{/}(6n)$ の位置にある。全 $n$ 半波は合同だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =2n\pi \{{\int }_0^{\pi \mathrm{/}(6n)}{\sin }^{2}nxdx+\frac{1}{4}(\frac{\pi }{2n}-\frac{\pi }{6n})\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi (\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{4})\mathrm{.}}\end{array}$$(4)$$I={\int }_0^{\pi }x{\sin }^{2}nxdx$$とおく。$x$ を $\pi -x$ に置き換えると、$n$ が整数であることから$$I={\int }_0^{\pi }(\pi -x){\sin }^{2}nxdx\mathrm{.}$$両式を加えて$$2I=\pi {\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}nxdx=\pi \cdot \frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$よって $I={\pi }^2\mathrm{/}4$ であり、体積は$$W=\pi I=\frac{{\pi }^3}{4}\mathrm{.}$$