広島大学 2020年度理系数学第4問解答・解説

問題

$n$ を正の整数とする。次の問いに答えよ。

(1) 定積分

\int_{0}^{\frac{π}{n}} sin n x d x

の値を求めよ。

(2) 定積分

\int_{0}^{π} ∣ sin n x ∣ d x

の値を求めよ。

(3) 座標平面において連立不等式

0 ≦ x ≦ π, 0 ≦ y ≦ \frac{1}{2}, y ≦ ∣ sin n x ∣

の表す図形を、 $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。

(4) 座標平面において連立不等式

0 ≦ x ≦ π, 0 ≦ y ≦ x ∣ sin n x ∣

の表す図形を、 $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。

出典：広島大学 2020年度前期理系第4問

方針

解法1（1周期へ縮約して積分する）

(1)(2)は $u = n x$ と置き、 $∣ sin u ∣$ の周期を使う。(3)は回転半径が $1/2$ と $∣ sin n x ∣$ の小さい方であることに注意し、1周期内で交点 $π /6, 5 π /6$ に分ける。(4)は半径の二乗を積分し、倍角公式を用いる。

解法2（周期性と区間の対称性を徹底して使う）

(1)(2)は半波ごとの面積を数える。(3)は各半波が左右対称であることから端の積分を2倍する。(4)は $F (x) = sin^{2} n x$ が $F (π - x) = F (x)$ を満たすことを使い、 $x$ の一次因子を平均値 $π /2$ に置き換える。

解答

解法1（1周期へ縮約して積分する）

(1)

\int_{0}^{\frac{π}{n}} sin n x d x = [- \frac{cos n x}{n}]_{0}^{\frac{π}{n}} = \frac{2}{n} .

(2)

$u = n x$ とおくと

\int_{0}^{π} ∣ sin n x ∣ d x = \frac{1}{n} \int_{0}^{nπ} ∣ sin u ∣ d u .

$∣ sin u ∣$ は周期 $π$ で、1周期の積分は2だから

\int_{0}^{π} ∣ sin n x ∣ d x = 2.

(3)

1周期で見ると、回転半径は次図の青線、すなわち $1/2$ と $sin u$ の小さい方である。

周期性により、体積は

V = π \int_{0}^{π} min (\frac{1}{4}, sin^{2} u) d u .

したがって

\frac{V}{π} = 2 \int_{0}^{π /6} sin^{2} u d u + \frac{1}{4} \cdot \frac{2 π}{3} = \frac{π}{3} - \frac{3}{4} .

よって

V = π (\frac{π}{3} - \frac{3}{4}) .

(4)

回転半径の二乗は $x sin^{2} n x$ だから

W = π \int_{0}^{π} x sin^{2} n x d x .

倍角公式より

\int_{0}^{π} x sin^{2} n x d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} x d x - \frac{1}{2} \int_{0}^{π} x cos 2 n x d x .

部分積分により後者は0となるので

W = π \cdot \frac{π ^{2}}{4} = \frac{π ^{3}}{4} .

解法2（周期性と区間の対称性を徹底して使う）

(1)

区間 $[0, π / n]$ は $sin n x$ の正の半波1個分であるから

\int_{0}^{π / n} sin n x d x = \frac{2}{n} .

(2)

$[0, π]$ には $∣ sin n x ∣$ の同じ半波が $n$ 個あり、各面積は $2/ n$ である。よって

\int_{0}^{π} ∣ sin n x ∣ d x = n \cdot \frac{2}{n} = 2.

(3)

各半波で $∣ sin n x ∣ = 1/2$ となる点は、端から長さ $π / (6 n)$ の位置にある。全 $n$ 半波は合同だから

V = 2 nπ {\int_{0}^{π / (6 n)} sin^{2} n x d x + \frac{1}{4} (\frac{π}{2 n} - \frac{π}{6 n})} = π (\frac{π}{3} - \frac{3}{4}) .

(4)

I = \int_{0}^{π} x sin^{2} n x d x

とおく。 $x$ を $π - x$ に置き換えると、 $n$ が整数であることから

I = \int_{0}^{π} (π - x) sin^{2} n x d x .

両式を加えて

2 I = π \int_{0}^{π} sin^{2} n x d x = π \cdot \frac{π}{2} .

よって $I = π^{2} /4$ であり、体積は

W = π I = \frac{π ^{3}}{4} .

広島大学 2020年度理系数学 第4問

問題

方針

解法1（1周期へ縮約して積分する）

解法2（周期性と区間の対称性を徹底して使う）

解答

解法1（1周期へ縮約して積分する）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（周期性と区間の対称性を徹底して使う）

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2020年度
理系数学第4問