広島大学 2021年度 前期理系数学 第3問

(1)
$b=1,2,3,4,5,6$の順に，$b^2>4c$を満たす$c$の個数は$$0,0,2,3,6,6$$であるから，求める確率は$$\frac{17}{36}$$である。

(2)
$a$が偶数のとき，判別式は $b^2-4c$ であるから有利な $(b,c)$ は17通りである。$a$が奇数のとき，判別式は $b^2+4c$ で常に正である。よって有利な組は$$3\cdot 17+3\cdot 36=159$$通りである。全体は216通りなので，求める確率は$$\frac{159}{216}=\frac{53}{72}$$である。

(3) $$f^{\mathrm{\prime }}(1)=2(-1{)}^a+b$$である。$f^{\mathrm{\prime }}(1)=7$となるのは，$a$が偶数で $b=5$ のときだけである。このとき $25>4c$ は $c=1,2,\dots ,6$ のすべてで成り立つ。したがって有利な組は $3\cdot 6=18$ 通りであり，条件付き確率は$$\frac{18}{159}=\frac{6}{53}$$である。

(4)
$a$が偶数のとき，方程式は $x^2+bx+c=0$ であり，実数解をもつ場合でも，解の和は $-b<0$，解の積は $c>0$ なので2解はともに負である。$a$が奇数のとき，方程式は $-x^2+bx+c=0$，すなわち $x^2-bx-c=0$ であり，解の積が $-c<0$ なので一方は正，一方は負である。したがって有利な組は，$a$が奇数であるすべての場合の$$3\cdot 36=108$$通りである。よって条件付き確率は$$\frac{108}{159}=\frac{36}{53}$$である。

判別式条件を第1投の偶奇で分け，各事象の確率を先に求める。(3)(4) は条件事象との共通部分の確率を計算し，$P(A\mid E)=P(A\cap E)\mathrm{/}P(E)$ に代入する。

(1)
$b$ ごとに $b^2>4c$ を満たす $c$ の個数を数えると$$\begin{array}{ccccccc}b& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ \mathrm{\#}c& 0& 0& 2& 3& 6& 6\end{array}$$である。合計17通りなので$$P(b^2>4c)=\frac{17}{36}$$となる。

(2)
異なる2実根をもつ事象を $E$ とする。$a$ が偶数なら判別式は $b^2-4c$ なので$$P(E\mid a\text{ が偶数})=\frac{17}{36}\mathrm{.}$$$a$ が奇数なら判別式は $b^2+4c>0$ なので，この条件付き確率は1である。偶数・奇数の確率はいずれも $\frac{1}{2}$ だから$$P(E)=\frac{1}{2}\cdot \frac{17}{36}+\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{53}{72}\mathrm{.}$$(3)$$f^{\mathrm{\prime }}(1)=2(-1{)}^a+b\mathrm{.}$$これが7になるには，$a$ が偶数かつ $b=5$ でなければならない。このとき $25>4c$ は全ての $c$ で成り立つから，自動的に $E$ に含まれる。よって$$P(E\cap \{f^{\mathrm{\prime }}(1)=7\})=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{12}\mathrm{.}$$したがって$$P(f^{\mathrm{\prime }}(1)=7\mid E)=\frac{1\mathrm{/}12}{53\mathrm{/}72}=\frac{6}{53}\mathrm{.}$$(4)
$a$ が偶数なら$$f(x)=x^2+bx+c$$であり，2実根が存在するとき，根の和は $-b<0$，積は $c>0$ だから2根はともに負である。一方，$a$ が奇数なら$$f(x)=-(x^2-bx-c)$$であり，方程式の根の積は $-c<0$ だから，常に一方が正，一方が負である。したがって『少なくとも1つが正』と $E$ の共通部分は，ちょうど $a$ が奇数である事象であり，その確率は $\frac{1}{2}$ である。よって$$P(\text{少なくとも1つが正}\mid E)=\frac{1\mathrm{/}2}{53\mathrm{/}72}=\frac{36}{53}\mathrm{.}$$