広島大学 2021年度理系数学第3問解答・解説

問題

1個のさいころを3回投げる。1回目，2回目，3回目に出た目をそれぞれ $a, b, c$ とし，

f (x) = (- 1)^{a} x^{2} + b x + c

とする。次の問いに答えよ。

(1) $b^{2} > 4 c$ である確率を求めよ。

(2) 2次方程式 $f (x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつ確率を求めよ。

(3) 2次方程式 $f (x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつとき， $f^{'} (1) = 7$ である条件付き確率を求めよ。

(4) 2次方程式 $f (x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつとき，少なくとも1つが正の解である条件付き確率を求めよ。

出典：広島大学 2021年度前期理系第3問

方針

解法1（場合の数で条件事象を数える）

(1)(2)は文系類題と同じく $(b, c)$ の数え上げと $a$ の偶奇で処理する。(3)は $f^{'} (1) = 2 (- 1)^{a} + b$ を用いる。(4)は， $a$ が偶数なら実数解があっても2解はともに負， $a$ が奇数なら積が負で一方が正になることを使う。

解法2（条件付き確率を確率の商で求める）

判別式条件を第1投の偶奇で分け，各事象の確率を先に求める。(3)(4) は条件事象との共通部分の確率を計算し， $P (A ∣ E) = P (A \cap E) / P (E)$ に代入する。

解答

解法1（場合の数で条件事象を数える）

(1)

$b = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ の順に， $b^{2} > 4 c$ を満たす $c$ の個数は

0, 0, 2, 3, 6, 6

であるから，求める確率は

\frac{17}{36}

である。

(2)

$a$ が偶数のとき，判別式は $b^{2} - 4 c$ であるから有利な $(b, c)$ は17通りである。 $a$ が奇数のとき，判別式は $b^{2} + 4 c$ で常に正である。よって有利な組は

3 \cdot 17 + 3 \cdot 36 = 159

通りである。全体は216通りなので，求める確率は

\frac{159}{216} = \frac{53}{72}

である。

(3)

f^{'} (1) = 2 (- 1)^{a} + b

である。 $f^{'} (1) = 7$ となるのは， $a$ が偶数で $b = 5$ のときだけである。このとき $25 > 4 c$ は $c = 1, 2, \dots, 6$ のすべてで成り立つ。したがって有利な組は $3 \cdot 6 = 18$ 通りであり，条件付き確率は

\frac{18}{159} = \frac{6}{53}

である。

(4)

$a$ が偶数のとき，方程式は $x^{2} + b x + c = 0$ であり，実数解をもつ場合でも，解の和は $- b < 0$ ，解の積は $c > 0$ なので2解はともに負である。 $a$ が奇数のとき，方程式は $- x^{2} + b x + c = 0$ ，すなわち $x^{2} - b x - c = 0$ であり，解の積が $- c < 0$ なので一方は正，一方は負である。したがって有利な組は， $a$ が奇数であるすべての場合の

3 \cdot 36 = 108

通りである。よって条件付き確率は

\frac{108}{159} = \frac{36}{53}

である。

解法2（条件付き確率を確率の商で求める）

(1)

$b$ ごとに $b^{2} > 4 c$ を満たす $c$ の個数を数えると

b # c 102032435666

である。合計17通りなので

P (b^{2} > 4 c) = \frac{17}{36}

となる。

(2)

異なる2実根をもつ事象を $E$ とする。 $a$ が偶数なら判別式は $b^{2} - 4 c$ なので

P (E ∣ a が偶数) = \frac{17}{36} .

$a$ が奇数なら判別式は $b^{2} + 4 c > 0$ なので，この条件付き確率は1である。偶数・奇数の確率はいずれも $\frac{1}{2}$ だから

P (E) = \frac{1}{2} \cdot \frac{17}{36} + \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{53}{72} .

(3)

f^{'} (1) = 2 (- 1)^{a} + b .

これが7になるには， $a$ が偶数かつ $b = 5$ でなければならない。このとき $25 > 4 c$ は全ての $c$ で成り立つから，自動的に $E$ に含まれる。よって

P (E \cap {f^{'} (1) = 7}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12} .

したがって

P (f^{'} (1) = 7 ∣ E) = \frac{1/12}{53/72} = \frac{6}{53} .

(4)

$a$ が偶数なら

f (x) = x^{2} + b x + c

であり，2実根が存在するとき，根の和は $- b < 0$ ，積は $c > 0$ だから2根はともに負である。一方， $a$ が奇数なら

f (x) = - (x^{2} - b x - c)

であり，方程式の根の積は $- c < 0$ だから，常に一方が正，一方が負である。したがって『少なくとも1つが正』と $E$ の共通部分は，ちょうど $a$ が奇数である事象であり，その確率は $\frac{1}{2}$ である。よって

P (少なくとも 1 つが正 ∣ E) = \frac{1/2}{53/72} = \frac{36}{53} .

広島大学 2021年度理系数学 第3問

問題

方針

解法1（場合の数で条件事象を数える）

解法2（条件付き確率を確率の商で求める）

解答

解法1（場合の数で条件事象を数える）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（条件付き確率を確率の商で求める）

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2021年度
理系数学第3問