問題
座標平面において，，， とする。線分 に点 で接する円 を内接円とする三角形 を考える。ただし，円 の中心は第1象限にあるとする。次の問いに答えよ。
(1) と の差は一定であることを証明せよ。
(2) 円 の半径を とするとき， のとる値の範囲を求めよ。
(3) が (2) の範囲で変化するとき，点 の軌跡の方程式を求めよ。また，その概形をかけ。
方針
解法1（接線長とヘロンの公式）
接線の長さが同じであることから，辺 上の接点 に対して を使い， を求める。半径の範囲は，頂点 からの接線長を文字で置いて面積公式 とヘロン型の計算で求める。軌跡は を焦点差一定の式として座標化する。
解法2（接線の傾きで媒介表示）
内心を と置き， から円へ引いた接線の傾きを点と直線の距離で求める。2本の接線の交点として を で媒介表示すれば，半径の範囲と双曲線の方程式が同時に得られる。
解答
解法1（接線長とヘロンの公式）
(1)
内接円が と接する点が であり， である。接点までの2本の接線の長さは同じなので，頂点から内接円への接線の長さをとおくと
である。よって
であり，一定である。
(2)
(1)の を用いると，三角形の3辺は であり，半周長は である。面積をとすると，内接円の半径がであるから
である。一方，辺の長さから
である。したがって
である。より
である。
(3)
とおく。は軸より上にあるので である。(1)より
である。これを整理すると
を得る。さらに差が正であるから右側の枝であり， も合わせて
である。概形は，中心が，頂点が，漸近線が である双曲線の右上の枝である。
解法2（接線の傾きで媒介表示）
(1)
円と辺 の接点をそれぞれ とする。同一点から円へ引いた接線の長さは等しいから
したがって
であり，
は一定である。
(2)
内心は である。辺 を とおく。中心 とこの直線の距離が だから
であり，0でない接線の傾きは
同様に，辺 を とおくと， のとき
2直線の交点を とすると
の場合は が垂直線 となり，上式の極限と同じく である。
点 が第1象限にあるには が必要十分であり， と合わせて
を得る。逆にこの範囲の各 について上の2接線は第1象限で交わるので，範囲内の値はすべて実現する。
(3)
媒介表示から
したがって
また より
よって軌跡は
である。
中心は ，頂点は ，漸近線は であり，図の右上の枝から頂点を除いた部分である。