広島大学 2021年度 前期理系数学 第6問

(1)
内接円が $OA$ と接する点が $P$ であり，$OP=3,AP=1$ である。接点までの2本の接線の長さは同じなので，頂点$B$から内接円への接線の長さを$x$とおくと$$OB=3+x,AB=1+x$$である。よって$$OB-AB=2$$であり，一定である。

(2)
(1)の $x$ を用いると，三角形の3辺は $4,3+x,1+x$ であり，半周長は $x+4$ である。面積を$K$とすると，内接円の半径が$r$であるから$$K=(x+4)r$$である。一方，辺の長さから$$K^2=(x+4)x\cdot 1\cdot 3=3x(x+4)$$である。したがって$$r^2=\frac{3x}{x+4}$$である。$x>0$より$$0<r<\sqrt{3}$$である。

(3)
$B=(X,Y)$とおく。$B$は$x$軸より上にあるので $Y>0$ である。(1)より$$\sqrt{X^2+Y^2}-\sqrt{(X-4{)}^2+Y^2}=2$$である。これを整理すると$$(X-2{)}^2-\frac{Y^2}{3}=1$$を得る。さらに差が正であるから右側の枝であり，$Y>0$ も合わせて$$(X-2{)}^2-\frac{Y^2}{3}=1,X>3,Y>0$$である。概形は，中心が$(2,0)$，頂点が$(3,0)$，漸近線が $Y=\pm \sqrt{3}(X-2)$ である双曲線の右上の枝である。

内心を $I(3,r)$ と置き，$O,A$ から円へ引いた接線の傾きを点と直線の距離で求める。2本の接線の交点として $B$ を $r$ で媒介表示すれば，半径の範囲と双曲線の方程式が同時に得られる。

(1)
円と辺 $OB,AB$ の接点をそれぞれ $R,Q$ とする。同一点から円へ引いた接線の長さは等しいから$$OR=OP=3,AQ=AP=1,BR=BQ\mathrm{.}$$したがって$$OB=3+BR,AB=1+BQ$$であり，$$OB-AB=2$$は一定である。

(2)
内心は $I(3,r)$ である。辺 $OB$ を $y=mx$ とおく。中心 $I$ とこの直線の距離が $r$ だから$$\frac{3m-r}{\sqrt{m^2+1}}=r$$であり，0でない接線の傾きは$$m=\frac{6r}{9-r^2}\mathrm{.}$$同様に，辺 $AB$ を $y=n(x-4)$ とおくと，$r\mathrm{\ne }1$ のとき$$n=-\frac{2r}{1-r^2}\mathrm{.}$$2直線の交点を $B=(X,Y)$ とすると$$X=\frac{9-r^2}{3-r^2},Y=\frac{6r}{3-r^2}\mathrm{.}$$$r=1$ の場合は $AB$ が垂直線 $x=4$ となり，上式の極限と同じく $B=(4,3)$ である。

点 $B$ が第1象限にあるには $Y>0$ が必要十分であり，$r>0$ と合わせて$$0<r<\sqrt{3}$$を得る。逆にこの範囲の各 $r$ について上の2接線は第1象限で交わるので，範囲内の値はすべて実現する。

(3)
媒介表示から$$X-2=\frac{3+r^2}{3-r^2},Y=\frac{6r}{3-r^2}\mathrm{.}$$したがって$$(X-2{)}^2-\frac{Y^2}{3}=\frac{(3+r^2{)}^2-12r^2}{(3-r^2{)}^2}=1.$$また $0<r<\sqrt{3}$ より$$X-3=\frac{2r^2}{3-r^2}>0,Y>0.$$よって軌跡は$$(X-2{)}^2-\frac{Y^2}{3}=1,X>3,Y>0$$である。

中心は $(2,0)$，頂点は $(3,0)$，漸近線は $Y=\pm \sqrt{3}(X-2)$ であり，図の右上の枝から頂点を除いた部分である。