広島大学 2021年度 前期理系数学 第4問

(1)
判別式は $4c-3$ であるから，$$\alpha =\frac{-1-\sqrt{4c-3}}{2},\beta =\frac{-1+\sqrt{4c-3}}{2}$$である。また$$a\alpha +b\beta =-\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\sqrt{4c-3}$$であり，$a+b=c^2$を用いると$$-\frac{c^2}{2}+\frac{b-a}{2}\sqrt{4c-3}+c=0$$である。したがって$$b-a=\frac{c(c-2)}{\sqrt{4c-3}}$$である。

(2)
$c$は自然数である。$\sqrt{4c-3}$が自然数でないとき，これは整数の平方根でありながら整数でないので有理数ではない。一方，$b-a$は整数であるから，(1)の等式より $c(c-2)=0$ でなければならない。$c$は自然数なので $c=2$。このとき $b-a=0$，$a+b=4$ であるから$$(a,b,c)=(2,2,2)$$である。

(3)
$4c-3=s^2$ とすると，$$c=\frac{s^2+3}{4}$$である。また (1) と $a+b=c^2$ より$$c^2-2a=\frac{c(c-2)}{s}$$である。両辺に $s$ をかけ，$$c=\frac{s^2+3}{4}$$ を代入して16倍すると$$s\{(s^2+3{)}^2-32a\}=(s^2+3)(s^2-5)$$である。これを整理して$$s^5-s^4+6s^3+2s^2+(9-32a)s=-15$$を得る。

(4)
(1)より$$b-a=\frac{c(c-2)}{s}$$である。$$c=\frac{s^2+3}{4}$$ だから，$s$は奇数であり，$s$は $c(c-2)$ を割り切る。ここで$$16c(c-2)=(s^2+3)(s^2-5)$$であり，$s$は奇数なので，$s$は $(s^2+3)(s^2-5)$ を割り切る。右辺は $s$ で割った余りが $3\cdot (-5)=-15$ と等しいから，$s$は15の正の約数である。よって$$s=1,3,5,15$$を調べればよい。
$s=1$では $c=1$，$b-a=-1$，$a+b=1$ となり，$b=0$ となるので不適である。
$s=3,5,15$について計算すると，それぞれ$$(a,b,c)=(4,5,3),(21,28,7),(1520,1729,57)$$である。したがって求める組はこの3組である。

$p=a+b$，$q=b-a$ とおくと，条件式が $p,q$ の1次式になる。非平方の場合は有理数と無理数の分離，平方の場合は問題文で示した恒等式から $s\mid 15$ を直接読み取り，候補を有限個に絞る。

(1) $$d=\sqrt{4c-3}$$ とおく。解の公式から$$\alpha =\frac{-1-d}{2},\beta =\frac{-1+d}{2}\mathrm{.}$$ここで$$p=a+b,q=b-a$$とおけば$$a\alpha +b\beta =-\frac{p}{2}+\frac{qd}{2}\mathrm{.}$$条件 $p=c^2$ と $a\alpha +b\beta +c=0$ を用いると$$-\frac{c^2}{2}+\frac{qd}{2}+c=0.$$したがって$$b-a=q=\frac{c(c-2)}{\sqrt{4c-3}}\mathrm{.}$$(2)
$4c-3$ は整数であり，その平方根が自然数でないなら，$$d=\sqrt{4c-3}$$ は無理数である。一方，$q=b-a$ は整数なので$$qd=c(c-2)$$の左辺は，$q\mathrm{\ne }0$ なら無理数，右辺は整数となって矛盾する。よって $q=0$，さらに $c(c-2)=0$ である。$c$ は自然数だから $c=2$。$$a+b=4,b-a=0$$より$$(a,b,c)=(2,2,2)\mathrm{.}$$(3)
$4c-3=s^2$ なら$$c=\frac{s^2+3}{4}\mathrm{.}$$また (1) の式と $b=c^2-a$ から$$2as=(s-1)c^2+2c$$を得る。ここへ $$c={\displaystyle \frac{s^2+3}{4}}$$ を代入し，両辺を16倍すると$$32as=(s-1)(s^2+3{)}^2+8(s^2+3)\mathrm{.}$$右辺を展開して左辺へ移せば$$s^5-s^4+6s^3+2s^2+(9-32a)s=-15$$となる。

(4)
(3) の等式を$$s\{s^4-s^3+6s^2+2s+9-32a\}=-15$$と書く。中括弧内は整数なので，正の整数 $s$ は15の約数である。したがって$$s=1,3,5,15$$だけを調べればよい。各 $s$ に対し$$c=\frac{s^2+3}{4},2as=(s-1)c^2+2c,b=c^2-a$$を使うと$$\begin{array}{cccc}s& c& a& b\\ 1& 1& 1& 0\\ 3& 3& 4& 5\\ 5& 7& 21& 28\\ 15& 57& 1520& 1729\end{array}$$となる。$s=1$ は $b=0$ で自然数条件に反する。よって全ての組は$$(a,b,c)=(4,5,3),(21,28,7),(1520,1729,57)$$である。