広島大学 2021年度理系数学第4問解答・解説

問題

$a, b, c$ を実数とし，2次方程式

x^{2} + x - (c - 1) = 0

が実数解 $α, β$ （ $α < β$ ）をもつとする。さらに，

a + b = c^{2}, a α + b β + c = 0

が成り立つとき，次の問いに答えよ。

(1) $α, β$ および $b - a$ を，それぞれ $c$ を用いて表せ。

以下では $a, b, c$ を自然数とする。

(2) $4 c - 3$ が自然数でないとき，自然数 $a, b, c$ の組を求めよ。

(3) 自然数 $s$ を用いて $4 c - 3 = s^{2}$ と表せるとき， $s$ と $a$ は

s^{5} - s^{4} + 6 s^{3} + 2 s^{2} + (9 - 32 a) s = - 15

を満たすことを示せ。

(4) (3) のとき，自然数 $a, b, c$ の組をすべて求めよ。

出典：広島大学 2021年度前期理系第4問

方針

解法1（平方根の有理・無理で分類）

解と係数の関係から $α, β$ を求め， $a α + b β + c = 0$ を $a + b$ と $b - a$ で整理する。自然数条件では $b - a$ が整数であることを使い，平方でない場合は不合理を避けるため $c = 2$ に絞る。平方の場合は $c = (s^{2} + 3) /4$ を代入し，最後は $s ∣ 15$ を導いて有限個を調べる。

解法2（和と差を未知数にする）

$p = a + b$ ， $q = b - a$ とおくと，条件式が $p, q$ の1次式になる。非平方の場合は有理数と無理数の分離，平方の場合は問題文で示した恒等式から $s ∣ 15$ を直接読み取り，候補を有限個に絞る。

解答

解法1（平方根の有理・無理で分類）

(1)

判別式は $4 c - 3$ であるから，

α = \frac{- 1 - 4 c - 3}{2}, β = \frac{- 1 + 4 c - 3}{2}

である。また

a α + b β = - \frac{a + b}{2} + \frac{b - a}{2} 4 c - 3

であり， $a + b = c^{2}$ を用いると

- \frac{c ^{2}}{2} + \frac{b - a}{2} 4 c - 3 + c = 0

である。したがって

b - a = \frac{c ( c - 2 )}{4 c - 3}

である。

(2)

$c$ は自然数である。 $4 c - 3$ が自然数でないとき，これは整数の平方根でありながら整数でないので有理数ではない。一方， $b - a$ は整数であるから，(1)の等式より $c (c - 2) = 0$ でなければならない。 $c$ は自然数なので $c = 2$ 。このとき $b - a = 0$ ， $a + b = 4$ であるから

(a, b, c) = (2, 2, 2)

である。

(3)

$4 c - 3 = s^{2}$ とすると， $c = \frac{s ^{2} + 3}{4}$ である。また (1) と $a + b = c^{2}$ より

c^{2} - 2 a = \frac{c ( c - 2 )}{s}

である。両辺に $s$ をかけ， $c = \frac{s ^{2} + 3}{4}$ を代入して16倍すると

s {(s^{2} + 3)^{2} - 32 a} = (s^{2} + 3) (s^{2} - 5)

である。これを整理して

s^{5} - s^{4} + 6 s^{3} + 2 s^{2} + (9 - 32 a) s = - 15

を得る。

(4)

(1)より

b - a = \frac{c ( c - 2 )}{s}

である。 $c = \frac{s ^{2} + 3}{4}$ だから， $s$ は奇数であり， $s$ は $c (c - 2)$ を割り切る。ここで

16 c (c - 2) = (s^{2} + 3) (s^{2} - 5)

であり， $s$ は奇数なので， $s$ は $(s^{2} + 3) (s^{2} - 5)$ を割り切る。右辺は $s$ で割った余りが $3 \cdot (- 5) = - 15$ と等しいから， $s$ は15の正の約数である。よって

s = 1, 3, 5, 15

を調べればよい。 $s = 1$ では $c = 1$ ， $b - a = - 1$ ， $a + b = 1$ となり， $b = 0$ となるので不適である。 $s = 3, 5, 15$ について計算すると，それぞれ

(a, b, c) = (4, 5, 3), (21, 28, 7), (1520, 1729, 57)

である。したがって求める組はこの3組である。

解法2（和と差を未知数にする）

(1)

$d = 4 c - 3$ とおく。解の公式から

α = \frac{- 1 - d}{2}, β = \frac{- 1 + d}{2} .

ここで

p = a + b, q = b - a

とおけば

a α + b β = - \frac{p}{2} + \frac{q d}{2} .

条件 $p = c^{2}$ と $a α + b β + c = 0$ を用いると

- \frac{c ^{2}}{2} + \frac{q d}{2} + c = 0.

したがって

b - a = q = \frac{c ( c - 2 )}{4 c - 3} .

(2)

$4 c - 3$ は整数であり，その平方根が自然数でないなら， $d = 4 c - 3$ は無理数である。一方， $q = b - a$ は整数なので

q d = c (c - 2)

の左辺は， $q \neq = 0$ なら無理数，右辺は整数となって矛盾する。よって $q = 0$ ，さらに $c (c - 2) = 0$ である。 $c$ は自然数だから $c = 2$ 。

a + b = 4, b - a = 0

より

(a, b, c) = (2, 2, 2) .

(3)

$4 c - 3 = s^{2}$ なら

c = \frac{s ^{2} + 3}{4} .

また (1) の式と $b = c^{2} - a$ から

2 a s = (s - 1) c^{2} + 2 c

を得る。ここへ $c = \frac{s ^{2} + 3}{4}$ を代入し，両辺を16倍すると

32 a s = (s - 1) (s^{2} + 3)^{2} + 8 (s^{2} + 3) .

右辺を展開して左辺へ移せば

s^{5} - s^{4} + 6 s^{3} + 2 s^{2} + (9 - 32 a) s = - 15

となる。

(4)

(3) の等式を

s {s^{4} - s^{3} + 6 s^{2} + 2 s + 9 - 32 a} = - 15

と書く。中括弧内は整数なので，正の整数 $s$ は15の約数である。したがって

s = 1, 3, 5, 15

だけを調べればよい。各 $s$ に対し

c = \frac{s ^{2} + 3}{4}, 2 a s = (s - 1) c^{2} + 2 c, b = c^{2} - a

を使うと

s 13515 c 13757 a 14211520 b 05281729

となる。 $s = 1$ は $b = 0$ で自然数条件に反する。よって全ての組は

(a, b, c) = (4, 5, 3), (21, 28, 7), (1520, 1729, 57)

である。

広島大学 2021年度理系数学 第4問

問題

方針

解法1（平方根の有理・無理で分類）

解法2（和と差を未知数にする）

解答

解法1（平方根の有理・無理で分類）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（和と差を未知数にする）

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2021年度
理系数学第4問