広島大学 2021年度 前期理系数学 第5問

(1)
曲線 $y=e^x$ の $x=t$ における接線の傾きは $e^t$ である。したがって法線の傾きは $-e^{-t}$ であり，$$l:y-e^t=-e^{-t}(x-t)$$である。

(2)
(1)より，$l$と$y$軸との交点は$$Q=(0,t{e}^{-t}+e^t)$$である。$t\mathrm{\ne }0$のとき，$R$の座標は$$(\frac{t}{2},e^t+\frac{t}{2}{e}^{-t})$$である。$$X=\frac{t}{2}$$ とおくと，$t=2X$ だから$$y=e^{2X}+X{e}^{-2X}$$となる。$t=0$のときも $(X,y)=(0,1)$ でこの式を満たす。よって曲線$C$は$$y=e^{2x}+x{e}^{-2x}(-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty })$$である。

(3)
$x=1$ のとき，曲線$C$上の点の $y$ 座標は $e^2+e^{-2}$ である。したがって求める面積は$${\int }_0^1\{e^2+e^{-2}-(e^{2x}+x{e}^{-2x})\}dx$$である。ここで$${\int }_0^1{e}^{2x}dx=\frac{e^2-1}{2},{\int }_0^{1}x{e}^{-2x}dx=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}{e}^{-2}$$より，面積は$$\frac{1}{2}{e}^2+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}{e}^{-2}$$である。

(4)
回転体の体積は$$\pi {\int }_0^1\{(e^2+e^{-2}{)}^2-(e^{2x}+x{e}^{-2x}{)}^2\}dx$$である。さらに$$(e^{2x}+x{e}^{-2x}{)}^2=e^{4x}+2x+x^2{e}^{-4x}$$であり，$${\int }_0^1{x}^2{e}^{-4x}dx=\frac{1-13e^{-4}}{32}$$である。したがって体積は$$\pi (\frac{3}{4}{e}^4+\frac{39}{32}+\frac{45}{32}{e}^{-4})$$である。

点 $Q$ と中点 $R$ を $t$ で表し，$t=2x$ で媒介変数を消去する。囲まれる範囲を単調性で確認し，面積・体積の積分は項ごとに独立した表示数式で計算する。

(1)
曲線 $y=e^x$ の点 $P(t,e^t)$ における接線の傾きは $e^t$ である。したがって法線の傾きは $-e^{-t}$ であり，$$l:y-e^t=-e^{-t}(x-t)$$となる。

(2)
$x=0$ を法線の式へ代入すると$$Q=(0,e^t+t{e}^{-t})\mathrm{.}$$よって中点 $R$ は$$R(\frac{t}{2},e^t+\frac{t}{2}{e}^{-t})$$である。$R=(x,y)$ と書けば $t=2x$ なので$$C:y=e^{2x}+x{e}^{-2x}$$を得る。$t=0$ の場合も右辺は1となり，指定された点 $R(0,1)$ を含む。

点・法線・軌跡の関係は次の図のようになる。

(3)
$g(x)=e^{2x}+x{e}^{-2x}$ とおくと$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{-2x}\{1-2x+2e^{4x}\}\mathrm{.}$$中括弧内の最小値は $x=-\frac{1}{2}\log 2$ で $\frac{3}{2}+\log 2>0$ だから，$g$ は単調増加する。したがって図形 $F$ は $0\leqq x\leqq 1$ にあり，その面積 $S$ は$$S={\int }_0^1\{e^2+e^{-2}-e^{2x}-x{e}^{-2x}\}dx\mathrm{.}$$各積分を分けて計算すると$${\int }_0^1{e}^{2x}dx=\frac{e^2-1}{2},$$$${\int }_0^{1}x{e}^{-2x}dx={[-(\frac{x}{2}+\frac{1}{4})e^{-2x}]}_0^1=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}{e}^{-2}\mathrm{.}$$ゆえに$$S=\frac{1}{2}{e}^2+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}{e}^{-2}\mathrm{.}$$(4)
円板の差を積分するから，体積 $V$ は$$V=\pi {\int }_0^1[{(e^2+e^{-2})}^2-{(e^{2x}+x{e}^{-2x})}^2]dx\mathrm{.}$$曲線の式の平方は$${(e^{2x}+x{e}^{-2x})}^2=e^{4x}+2x+x^2{e}^{-4x}$$である。ここで部分積分を2回行うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1{x}^2{e}^{-4x}dx}& {\displaystyle ={[-e^{-4x}(\frac{x^2}{4}+\frac{x}{8}+\frac{1}{32})]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{32}-\frac{13}{32}{e}^{-4}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$${\int }_0^1{(e^{2x}+x{e}^{-2x})}^{2}dx=\frac{1}{4}{e}^4+\frac{25}{32}-\frac{13}{32}{e}^{-4}\mathrm{.}$$また$${(e^2+e^{-2})}^2=e^4+2+e^{-4}$$なので，差を整理して$$V=\pi (\frac{3}{4}{e}^4+\frac{39}{32}+\frac{45}{32}{e}^{-4})$$を得る。