広島大学 2021年度理系数学第5問解答・解説

問題

座標平面において，曲線 $y = e^{x}$ 上の点 $P (t, e^{t})$ における法線を $l$ とし， $l$ と $y$ 軸との交点を $Q$ とする。 $t \neq = 0$ のときは線分 $P Q$ の中点を $R$ とし， $t = 0$ のときは $R (0, 1)$ とする。次の問いに答えよ。

(1) 直線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) $t$ が実数全体を動くとき，点 $R$ の描く曲線 $C$ の方程式を求めよ。

(3) 曲線 $C$ ， $y$ 軸，直線 $y = e^{- 2} + e^{2}$ で囲まれた図形 $F$ の面積を求めよ。

(4) 図形 $F$ を $x$ 軸のまわりに回転して得られる回転体の体積を求めよ。

出典：広島大学 2021年度前期理系第5問

方針

解法1（法線から軌跡を消去）

法線の傾きは接線の傾きの負の逆数である。 $Q$ を求めて中点座標を $t$ で表し， $X = \frac{t}{2}$ とおいて軌跡の方程式にする。面積と体積は $0 ≦ X ≦ 1$ で上側の水平線から曲線を引いて積分する。

解法2（媒介変数表示と積分計算の詳述）

点 $Q$ と中点 $R$ を $t$ で表し， $t = 2 x$ で媒介変数を消去する。囲まれる範囲を単調性で確認し，面積・体積の積分は項ごとに独立した表示数式で計算する。

解答

解法1（法線から軌跡を消去）

(1)

曲線 $y = e^{x}$ の $x = t$ における接線の傾きは $e^{t}$ である。したがって法線の傾きは $- e^{- t}$ であり，

l : y - e^{t} = - e^{- t} (x - t)

である。

(2)

(1)より， $l$ と $y$ 軸との交点は

Q = (0, t e^{- t} + e^{t})

である。 $t \neq = 0$ のとき， $R$ の座標は

(\frac{t}{2}, e^{t} + \frac{t}{2} e^{- t})

である。 $X = \frac{t}{2}$ とおくと， $t = 2 X$ だから

y = e^{2 X} + X e^{- 2 X}

となる。 $t = 0$ のときも $(X, y) = (0, 1)$ でこの式を満たす。よって曲線 $C$ は

y = e^{2 x} + x e^{- 2 x} (- \infty < x < \infty)

である。

(3)

$x = 1$ のとき，曲線 $C$ 上の点の $y$ 座標は $e^{2} + e^{- 2}$ である。したがって求める面積は

\int_{0}^{1} {e^{2} + e^{- 2} - (e^{2 x} + x e^{- 2 x})} d x

である。ここで

\int_{0}^{1} e^{2 x} d x = \frac{e ^{2} - 1}{2}, \int_{0}^{1} x e^{- 2 x} d x = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} e^{- 2}

より，面積は

\frac{1}{2} e^{2} + \frac{1}{4} + \frac{7}{4} e^{- 2}

である。

(4)

回転体の体積は

π \int_{0}^{1} {(e^{2} + e^{- 2})^{2} - (e^{2 x} + x e^{- 2 x})^{2}} d x

である。さらに

(e^{2 x} + x e^{- 2 x})^{2} = e^{4 x} + 2 x + x^{2} e^{- 4 x}

であり，

\int_{0}^{1} x^{2} e^{- 4 x} d x = \frac{1 - 13 e ^{- 4}}{32}

である。したがって体積は

π (\frac{3}{4} e^{4} + \frac{39}{32} + \frac{45}{32} e^{- 4})

である。

解法2（媒介変数表示と積分計算の詳述）

(1)

曲線 $y = e^{x}$ の点 $P (t, e^{t})$ における接線の傾きは $e^{t}$ である。したがって法線の傾きは $- e^{- t}$ であり，

l : y - e^{t} = - e^{- t} (x - t)

となる。

(2)

$x = 0$ を法線の式へ代入すると

Q = (0, e^{t} + t e^{- t}) .

よって中点 $R$ は

R (\frac{t}{2}, e^{t} + \frac{t}{2} e^{- t})

である。 $R = (x, y)$ と書けば $t = 2 x$ なので

C : y = e^{2 x} + x e^{- 2 x}

を得る。 $t = 0$ の場合も右辺は1となり，指定された点 $R (0, 1)$ を含む。

点・法線・軌跡の関係は次の図のようになる。

(3)

$g (x) = e^{2 x} + x e^{- 2 x}$ とおくと

g^{'} (x) = e^{- 2 x} {1 - 2 x + 2 e^{4 x}} .

中括弧内の最小値は $x = - \frac{1}{2} lo g 2$ で $\frac{3}{2} + lo g 2 > 0$ だから， $g$ は単調増加する。したがって図形 $F$ は $0 ≦ x ≦ 1$ にあり，その面積 $S$ は

S = \int_{0}^{1} {e^{2} + e^{- 2} - e^{2 x} - x e^{- 2 x}} d x .

各積分を分けて計算すると

\int_{0}^{1} e^{2 x} d x = \frac{e ^{2} - 1}{2},

\int_{0}^{1} x e^{- 2 x} d x = [- (\frac{x}{2} + \frac{1}{4}) e^{- 2 x}]_{0}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} e^{- 2} .

ゆえに

S = \frac{1}{2} e^{2} + \frac{1}{4} + \frac{7}{4} e^{- 2} .

(4)

円板の差を積分するから，体積 $V$ は

V = π \int_{0}^{1} [(e^{2} + e^{- 2})^{2} - (e^{2 x} + x e^{- 2 x})^{2}] d x .

曲線の式の平方は

(e^{2 x} + x e^{- 2 x})^{2} = e^{4 x} + 2 x + x^{2} e^{- 4 x}

である。ここで部分積分を2回行うと

\int_{0}^{1} x^{2} e^{- 4 x} d x = [- e^{- 4 x} (\frac{x ^{2}}{4} + \frac{x}{8} + \frac{1}{32})]_{0}^{1} = \frac{1}{32} - \frac{13}{32} e^{- 4} .

したがって

\int_{0}^{1} (e^{2 x} + x e^{- 2 x})^{2} d x = \frac{1}{4} e^{4} + \frac{25}{32} - \frac{13}{32} e^{- 4} .

また

(e^{2} + e^{- 2})^{2} = e^{4} + 2 + e^{- 4}

なので，差を整理して

V = π (\frac{3}{4} e^{4} + \frac{39}{32} + \frac{45}{32} e^{- 4})

を得る。

広島大学 2021年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1（法線から軌跡を消去）

解法2（媒介変数表示と積分計算の詳述）

解答

解法1（法線から軌跡を消去）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（媒介変数表示と積分計算の詳述）

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2021年度
理系数学第5問