広島大学 2025年度 前期理系数学 第1問

曲線の位置関係は次のようになる。網掛け部分を回転させるので，$x=1$ を境に断面が円板から円環へ変わる。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x^{-3\mathrm{/}2}(1-\frac{1}{2}\log x)$$である。また $x\to +0$ で $f(x)\to -\mathrm{\infty }$，$x\to \mathrm{\infty }$ で $f(x)\to 0$ である。したがって $0<x<e^2$ で $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$、$x>e^2$ で $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ となるから、最大値は$$f(e^2)=\frac{2}{e}$$である。

(2)
部分積分により$$\int \log xdx=x\log x-x+C$$である。また$$\int (\log x{)}^{2}dx=x(\log x{)}^2-2\int \log xdx=x\{(\log x{)}^2-2\log x+2\}+C$$である。

(3)
(1)より $a=2\mathrm{/}e$ である。すべての $x>0$ に対して $$\log x\leqq a\sqrt{x}$$ であり、等号は $x=e^2$ のときである。また $\log x=0$ は $x=1$ で成り立つ。よって求める体積は$$V=\pi {\int }_0^1{\left(\frac{2}{e}\sqrt{x}\right)}^{2}dx+\pi {\int }_1^{e^2}\{{\left(\frac{2}{e}\sqrt{x}\right)}^2-(\log x{)}^2\}dx$$である。これは$$V=\pi \{{\int }_0^{e^2}\frac{4}{e^2}xdx-{\int }_1^{e^2}(\log x{)}^{2}dx\}$$と整理できる。(2)より$${\int }_1^{e^2}(\log x{)}^{2}dx={[x\{(\log x{)}^2-2\log x+2\}]}_1^{e^2}=2e^2-2$$であり、また$${\int }_0^{e^2}\frac{4}{e^2}xdx=2e^2$$である。したがって$$V=2\pi$$である。