広島大学 2025年度 前期理系数学 第5問

$P_n$ は中心 $i$ から見た偏角を毎回2倍し，中心からの距離を急速に増やす。奇数 $n\geqq 3$ の点は図の同じ半直線上に並ぶ。

(1)
$w_n=z_n-i$とおくと$$w_1=\sqrt{3}+i=2(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}),w_{n+1}=2w_n^2$$である。したがって$$z_2-i=w_2=8(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3})$$であり、さらに$$z_3-i=w_3=128(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3})$$である。

(2) $$z_n-i=r_n(\cos {\theta }_n+i\sin {\theta }_n)$$と表すと、$$r_{n+1}=2r_n^2$$である。$u_n={\log }_2{r}_n$とおけば$$u_1=1,u_{n+1}=1+2u_n$$であるから、$$u_n=2^n-1$$である。すなわち$${\log }_2{r}_n=2^n-1$$である。

(3)
偏角は $${\theta }_1=\frac{\pi }{6}$$ から始まり、$w_{n+1}=2w_n^2$ により$2$倍される。したがって$$z_n=i+2^{2^n-1}(\cos \frac{2^{n-1}\pi }{6}+i\sin \frac{2^{n-1}\pi }{6})$$である。

(4)
$n=3,5,2025$はいずれも奇数で$n\geqq 3$である。このとき$2^{n-1}\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}12)$であるから、$$\frac{2^{n-1}\pi }{6}\equiv \frac{2\pi }{3}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$$である。よって $P_3,P_5,P_{2025}$ はいずれも点 $(0,1)$ から偏角 $\frac{2\pi }{3}$ の方向にある半直線上の点である。また $r_n=2^{2^n-1}$ は狭義単調増加なので3点は互いに異なる。したがって$3$点$P_3,P_5,P_{2025}$は一直線上にある。