広島大学 2025年度 前期理系数学 第4問

(1)
箱$A_{3n+1}$には $1,2,\dots ,3n+1$ のカードが入っているから、平均値は$$L=\frac{1+(3n+1)}{2}=\frac{3n+2}{2}$$である。

(2)
$N=3n+1$とおく。すべてのカードの枚数は$$1+2+\cdots +N=\frac{N(N+1)}{2}$$である。また、すべてのカードに書かれた整数の総和は$$\sum _{k=1}^N\frac{k(k+1)}{2}=\frac{N(N+1)(N+2)}{6}$$である。したがって$$M=\frac{N+2}{3}=n+1$$である。

(3)
$M=n+1$である。値が$M$であるカードは、箱$A_{n+1},A_{n+2},\dots ,A_{3n+1}$に$1$枚ずつ入っているので、全部で$2n+1$枚である。よって$$P(n)=\frac{2n+1}{(3n+1)(3n+2)\mathrm{/}2}=\frac{2(2n+1)}{(3n+1)(3n+2)}$$である。

(4)
箱$A_k$を選び、その箱から値$M$のカードを引く確率は、$n+1\leqq k\leqq 3n+1$に対して$$\frac{1}{2n+1}\cdot \frac{1}{k}$$である。したがって条件付き確率は$$Q(n)=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2n+1}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3n+1}}}{{\displaystyle \frac{1}{2n+1}}{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{3n+1}\frac{1}{k}}}=\frac{1}{(3n+1){\displaystyle \sum _{k=n+1}^{3n+1}\frac{1}{k}}}$$である。これは，条件事象の確率を分母，同時事象の確率を分子に置いたものである。これは，条件事象の確率を分母，同時事象の確率を分子に置いたものである。ゆえに$$nQ(n)=\frac{n}{3n+1}{\left(\sum _{k=n+1}^{3n+1}\frac{1}{k}\right)}^{-1}$$である。ここで$$\sum _{k=n+1}^{3n+1}\frac{1}{k}=\frac{1}{n}\sum _{k=n+1}^{3n+1}\frac{1}{k\mathrm{/}n}⟶{\int }_1^3\frac{dx}{x}=\log 3$$であるから、$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }nQ(n)=\frac{1}{3\log 3}$$である。