広島大学 2025年度 前期理系数学 第3問

4点は円周上を角 $\theta$ ずつ進む位置にある。面積の符号を固定するため，$0<3\theta <\pi$ であることも使う。

(1)
$\mathrm{△}OAD$の面積は$$S(\theta )=\frac{1}{2}\sin 3\theta$$である。よって$$\underset{\theta \to +0}{\lim }\frac{S(\theta )}{\theta }=\frac{1}{2}\underset{\theta \to +0}{\lim }\frac{\sin 3\theta }{\theta }=\frac{3}{2}$$である。

(2) $$2T(\theta )=(\cos \theta -1)\sin 2\theta -\sin \theta (\cos 2\theta -1)$$である。これを整理すると$$T(\theta )=\sin \theta (1-\cos \theta )$$となる。したがって$$\underset{\theta \to +0}{\lim }\frac{T(\theta )}{{\theta }^3}=\underset{\theta \to +0}{\lim }\frac{\sin \theta }{\theta }\cdot \frac{1-\cos \theta }{{\theta }^2}=\frac{1}{2}$$である。

(3) $$2U(\theta )=(\cos \theta -1)\sin 3\theta -\sin \theta (\cos 3\theta -1)$$である。$t=\cos \theta$とおくと、$$\sin 3\theta =\sin \theta (4t^2-1)$$、$\cos 3\theta =4t^3-3t$より$$U(\theta )=\sin \theta (1+t-2t^2)$$である。よって$$\frac{U(\theta )}{\sin \theta }=1+t-2t^2$$である。

(4)
(2)、(3)より$$f(\theta )=\frac{\sin \theta (1-t)}{\sin \theta (1+t-2t^2)}=\frac{1}{2t+1}$$である。ただし $t=\cos \theta$ であり、$$0<\theta <\frac{\pi }{3}$$より$$\frac{1}{2}<t<1$$である。$f(\theta )=1\mathrm{/}(2t+1)$ は $t$ について連続かつ単調減少である。したがって$$\underset{\theta \to +0}{\lim }f(\theta )=\frac{1}{3}$$であり、$f(\theta )$のとり得る値の範囲は$$\frac{1}{3}<f(\theta )<\frac{1}{2}$$である。