広島大学 2026年度 前期理系数学 第4問

(1) $$y=x(1+x^2{)}^{-p}$$とおくと$$y^{\mathrm{\prime }}=(1+x^2{)}^{-p-1}\{1-(2p-1)x^2\}$$である。$x\geqq 0$で$(1+x^2{)}^{-p-1}>0$であり，$1-(2p-1)x^2$は$$x=1\mathrm{/}\sqrt{2p-1}$$で符号を正から負に変える。よって$$a=\frac{1}{\sqrt{2p-1}}$$である。

(2)
$t=1+x^2$とおくと，$dt=2xdx$，$x^2=t-1$であるから$$\int 2x^3(1+x^2{)}^{-p}dx=\int (t-1)t^{-p}dt$$である。したがって$$\int 2x^3(1+x^2{)}^{-p}dx=-\frac{t^{2-p}}{p-2}+\frac{t^{1-p}}{p-1}+C=-\frac{(1+x^2{)}^{2-p}}{p-2}+\frac{(1+x^2{)}^{1-p}}{p-1}+C$$である。

(3)
(1)より$a^2=1\mathrm{/}(2p-1)$である。また$$S(p)={\int }_0^{a}x(1+x^2{)}^{-p}dx=\frac{1-(1+a^2{)}^{1-p}}{2(p-1)}$$である。ここで$$1+a^2=1+\frac{1}{2p-1}$$であり，$${(1+\frac{1}{2p-1})}^{p-1}\to e^{1\mathrm{/}2}$$だから$$(1+a^2{)}^{1-p}\to e^{-1\mathrm{/}2}$$である。よって$$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }pS(p)=\frac{1}{2}(1-e^{-1\mathrm{/}2})$$である。

(4)
(2)の結果を用いる。$A=1+a^2$とおくと，(1)より$$A=1+\frac{1}{2p-1}$$である。また$$T(p)={[-\frac{(1+x^2{)}^{2-p}}{p-2}+\frac{(1+x^2{)}^{1-p}}{p-1}]}_0^a$$であるから，$$T(p)=\frac{1}{(p-2)(p-1)}+\frac{A^{1-p}}{p-1}-\frac{A^{2-p}}{p-2}$$である。したがって$$p^{2}T(p)=\frac{p^2}{(p-2)(p-1)}+\frac{p^2{A}^{1-p}\{(p-2)-A(p-1)\}}{(p-2)(p-1)}$$である。ここで$$A^{1-p}={(1+\frac{1}{2p-1})}^{1-p}\to e^{-1\mathrm{/}2}$$かつ$$(p-2)-A(p-1)=-1-\frac{p-1}{2p-1}\to -\frac{3}{2}$$である。よって$$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}^{2}T(p)=1-\frac{3}{2}{e}^{-1\mathrm{/}2}$$である。

(1) ,(2)は標準計算を行う。(3),(4)では $u=p{x}^2$ と尺度を変え，積分区間を $[0,1\mathrm{/}2]$ に固定して $(1+u\mathrm{/}p{)}^{-p}\to e^{-u}$ を一様なはさみうちで処理する。

(1)
微分すると$$\{x(1+x^2{)}^{-p}{\}}^{\mathrm{\prime }}=(1+x^2{)}^{-p-1}\{1-(2p-1)x^2\}$$だから，最大点は $a=1\mathrm{/}\sqrt{2p-1}$ である。

(2)
$t=1+x^2$ とおけば$$\int 2x^3(1+x^2{)}^{-p}dx=-\frac{(1+x^2{)}^{2-p}}{p-2}+\frac{(1+x^2{)}^{1-p}}{p-1}+C\mathrm{.}$$(3)
$u=p{x}^2$ とおくと $xdx=du\mathrm{/}(2p)$ で，上端は$$r_p=p{a}^2=\frac{p}{2p-1}⟶\frac{1}{2}$$となる。よって$$pS(p)=\frac{1}{2}{\int }_0^{r_p}{(1+\frac{u}{p})}^{-p}du\mathrm{.}$$$0\leqq u\leqq 1$ では$$u-\frac{u^2}{2p}\leqq p\log (1+\frac{u}{p})\leqq u$$だから$$e^{-u}\leqq {(1+\frac{u}{p})}^{-p}\leqq e^{-u+u^2\mathrm{/}(2p)}\mathrm{.}$$両端の差は区間全体で0に近づく。したがって$$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }pS(p)=\frac{1}{2}{\int }_0^{1\mathrm{/}2}{e}^{-u}du=\frac{1}{2}(1-e^{-1\mathrm{/}2})\mathrm{.}$$(4)
同じ置換により $2x^{3}dx=udu\mathrm{/}{p}^2$ だから$$p^{2}T(p)={\int }_0^{r_p}u{(1+\frac{u}{p})}^{-p}du\mathrm{.}$$上と同じはさみうちを用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}^{2}T(p)}& {\displaystyle ={\int }_0^{1\mathrm{/}2}u{e}^{-u}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[-(u+1)e^{-u}]}_0^{1\mathrm{/}2}=1-\frac{3}{2}{e}^{-1\mathrm{/}2}\mathrm{.}}\end{array}$$