広島大学 2026年度 前期理系数学 第5問

(1)
$a_1=2$は正の有理数である。$a_n$が正の有理数であるとすると，$1\mathrm{/}{a}_n$も正の有理数であり，$$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$$も正の有理数である。よって数学的帰納法により，すべての自然数$n$について$a_n$は正の有理数である。

(2)
漸化式より$$a_{n+1}^2={(a_n+\frac{1}{a_n})}^2=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2}$$である。$a_1^2=4=2\cdot 1+2$である。$a_n^2\geqq 2n+2$と仮定すると$$a_{n+1}^2=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2}\geqq 2n+4=2(n+1)+2$$である。よって数学的帰納法により$$a_n\geqq \sqrt{2n+2}$$である。

(3)
(2)より$a_k^2\geqq 2k+2$であるから$$\frac{1}{a_k^2}\leqq \frac{1}{2k+2}$$である。また$$a_n^2=a_1^2+2(n-1)+\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{a_k^2}$$である。したがって$$a_n^2\leqq 4+2(n-1)+\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k+2}=2n+2+\frac{1}{2}\sum _{j=2}^n\frac{1}{j}$$である。さらに$$\sum _{j=2}^n\frac{1}{j}\leqq {\int }_1^n\frac{dx}{x}=\log n$$であるから$$a_n^2\leqq 2n+2+\frac{1}{2}\log n$$である。$a_n>0$より$$a_n\leqq \sqrt{2n+2+\frac{1}{2}\log n}$$である。

(4)
(2)より$$a_n-\sqrt{2n}\geqq \sqrt{2n+2}-\sqrt{2n}$$であり，右辺は$0$に近づく。一方，(3)より$$a_n-\sqrt{2n}\leqq \sqrt{2n+2+\frac{1}{2}\log n}-\sqrt{2n}$$である。右辺を有理化すると$$\frac{2+\frac{1}{2}\log n}{\sqrt{2n+2+\frac{1}{2}\log n}+\sqrt{2n}}$$であり，問題文で与えられた極限からこれは$0$に近づく。よってはさみうちにより$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n-\sqrt{2n})=0$$である。