広島大学 2026年度 前期理系数学 第2問

(1)
直線$\mathrm{\ell }$は$$y=mx+\sqrt{3}$$である。これを楕円の方程式に代入すると$$x^2+\frac{(mx+\sqrt{3}{)}^2}{4}=1$$より$$(m^2+4)x^2+2\sqrt{3}mx-1=0$$を得る。したがって解と係数の関係より$$\alpha +\beta =-\frac{2\sqrt{3}m}{m^2+4},\alpha \beta =-\frac{1}{m^2+4}$$である。

(2) $$(\alpha -\beta {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta =\frac{16(m^2+1)}{(m^2+4{)}^2}$$である。$\alpha >\beta$より$$\alpha -\beta =\frac{4\sqrt{m^2+1}}{m^2+4}$$である。直線$\mathrm{\ell }$上では，$x$座標の差が$\alpha -\beta$のとき距離は$\sqrt{1+m^2}(\alpha -\beta )$であるから$$\mathrm{P}\mathrm{Q}=\frac{4(m^2+1)}{m^2+4}$$である。

(3)
楕円$C$は長半径$2$，焦点が$\mathrm{A}(0,\sqrt{3})$，$\mathrm{B}(0,-\sqrt{3})$である。したがって楕円上の点Xについて$$\mathrm{A}\mathrm{X}+\mathrm{B}\mathrm{X}=4$$である。P，Qは直線$\mathrm{\ell }$上で点Aをはさんで反対側にあるので，$$\mathrm{A}\mathrm{P}+\mathrm{A}\mathrm{Q}=\mathrm{P}\mathrm{Q}$$である。よって$$\mathrm{B}\mathrm{P}+\mathrm{B}\mathrm{Q}=8-(\mathrm{A}\mathrm{P}+\mathrm{A}\mathrm{Q})=8-\mathrm{P}\mathrm{Q}$$である。これが$5$であるから$$\mathrm{P}\mathrm{Q}=3$$である。(2)より$$\frac{4(m^2+1)}{m^2+4}=3$$であるから，$m^2=8$となる。$m>0$より$$m=2\sqrt{2}$$である。

焦点と弦の位置関係は次の図のようになる。点Aは線分PQの内部にある。

(4) $$m=2\sqrt{2}$$のとき，直線$\mathrm{\ell }$は$$2\sqrt{2}x-y+\sqrt{3}=0$$である。点Bから直線$\mathrm{\ell }$までの距離は$$\frac{\mathrm{\mid }0-(-\sqrt{3})+\sqrt{3}\mathrm{\mid }}{\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$である。したがって三角形BPQの面積は$$\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$$である。