広島大学 2026年度 前期理系数学 第3問

(1)
すべての面が合同であるから，$$\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{A}\mathrm{C}=\sqrt{5}$$，$$\mathrm{B}\mathrm{C}=\sqrt{2}$$である。したがって$$\vec{a}\cdot \vec{b}=1,\vec{b}\cdot \vec{c}=4,\vec{c}\cdot \vec{a}=1$$である。三角形AOBは辺の長さが$\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{5}$の二等辺三角形であるから，底辺を$\sqrt{2}$とすると高さは$3\mathrm{/}\sqrt{2}$である。よって面積は$$\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3}{2}$$である。

(2) $$\overrightarrow{OH}=(1-s-t)\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c}$$である。$\overrightarrow{OH}\perp \overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{OH}\perp \overrightarrow{AC}$より$$\overrightarrow{OH}\cdot (\vec{b}-\vec{a})=0,\overrightarrow{OH}\cdot (\vec{c}-\vec{a})=0$$である。内積の値を代入して$$5s+4t=1,4s+5t=1$$を得る。よって$$s=t=\frac{1}{9}$$である。

(3)
(2)より$$\overrightarrow{OH}=\frac{7}{9}\vec{a}+\frac{1}{9}\vec{b}+\frac{1}{9}\vec{c}$$である。したがって$${\mathrm{O}\mathrm{H}}^2={\mid \frac{7}{9}\vec{a}+\frac{1}{9}\vec{b}+\frac{1}{9}\vec{c}\mid }^2=\frac{16}{9}$$より$$\mathrm{O}\mathrm{H}=\frac{4}{3}$$である。

(4)
(2)より$$\overrightarrow{AH}=\frac{1}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{9}\overrightarrow{AC}$$である。平面OCHと平面ABCの交線は直線CHである。直線CHが辺ABと交わる点をDとすると，Dは直線CH上にあるから，Hの重み$$H=\frac{7}{9}A+\frac{1}{9}B+\frac{1}{9}C$$を用いて，Dは$$D=\frac{7}{8}A+\frac{1}{8}B$$で表される。したがって $\mathrm{A}\mathrm{D}:\mathrm{D}\mathrm{B}=1:7$ である。底面上の位置関係は次の模式図で表せる。

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平面OCHは四面体を，底面が三角形ACDの部分と三角形BCDの部分に分ける。底面ABC上の面積比は$$\text{三角形ACD}:\text{三角形BCD}=1:7$$であり，高さは共通なので体積比も$1:7$である。四面体OABC全体の体積は$$\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}=\frac{2}{3}$$であるから，体積が小さい方は$$\frac{1}{8}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{12}$$である。