北海道大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $y=1-x^2$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積は$${\int }_{-1}^1(1-x^2)dx={[x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{-1}^1={\displaystyle \frac{4}{3}}$$である。

一方、$y=a-b{x}^2$ と $x$ 軸との交点は $$x=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}$$ である。したがって囲まれる面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-\sqrt{a\mathrm{/}b}}^{\sqrt{a\mathrm{/}b}}(a-b{x}^2)dx}& {\displaystyle =2{\int }_0^{\sqrt{a\mathrm{/}b}}(a-b{x}^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{[ax-{\displaystyle \frac{b{x}^3}{3}}]}_0^{\sqrt{a\mathrm{/}b}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4a^{3\mathrm{/}2}}{3\sqrt{b}}}\mathrm{.}}\end{array}$$これが $4\mathrm{/}3$ に等しいので $$\sqrt{b}=a^{3\mathrm{/}2}$$ であり、$b=a^3$ である。

(2)
(1)より2つ目の放物線は $y=a-a^3{x}^2$ である。 $y=1-x^2$ の $x=s$ における接線は $$y=-2s(x-s)+1-s^2=-2sx+1+s^2$$ である。傾きが負なので $s>0$ である。

また $y=a-a^3{x}^2$ の $x=t$ における接線は $$y=-2a^{3}t(x-t)+a-a^3{t}^2=-2a^{3}tx+a+a^3{t}^2$$ である。傾きが負なので $t>0$ である。

これらが同じ直線であるためには、傾きと $y$ 軸切片が等しければよい。したがって $s=a^{3}t$ および $1+s^2=a+a^3{t}^2$ である。$t=s\mathrm{/}{a}^3$ を代入すると $$1+s^2=a+{\displaystyle \frac{s^2}{a^3}}$$ である。$a\mathrm{\ne }1$ のとき、$$1-a=s^2({\displaystyle \frac{1}{a^3}}-1)=s^2{\displaystyle \frac{(1-a)(1+a+a^2)}{a^3}}$$ だから $$s^2={\displaystyle \frac{a^3}{1+a+a^2}}$$ である。

求める直線と $y$ 軸との交点の $y$ 座標を $k$ とすると $$k=1+s^2=1+{\displaystyle \frac{a^3}{1+a+a^2}}$$ である。よって $$\underset{a\to 1}{\lim }k=1+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$$ となる。したがって交点は $(0,{\displaystyle \frac{4}{3}})$ に近づく。

$a=2$ のときの模式図。負の傾きの共通接線を示した。

(1) 第2の放物線を横方向に標準化し、面積が「高さ×横幅」の定数倍であることから $b=a^3$ を得る。(2) 共通接線を $y=mx+k$ とおく。各放物線との交点方程式が重解をもつ条件、すなわち判別式0を2本について立てる。負の傾きを選び、切片 $k$ の極限を求める。

(1) 第2の放物線で$$x=\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}u$$とおくと、$y=a(1-u^2)$、$-1\leqq u\leqq 1$ となる。したがって囲まれる面積は、第1の放物線の面積 $4\mathrm{/}3$ の$$a\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}$$倍である。2つの面積が等しいので$$a\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}=1.$$$a,b>0$ より $b=a^3$ である。

(2) 共通接線を$$y=mx+k(m<0)$$とおく。$y=1-x^2$ と接するためには$$x^2+mx+k-1=0$$が重解をもてばよい。判別式を0とすると$$m^2-4(k-1)=0,k=1+{\displaystyle \frac{m^2}{4}}\mathrm{.}$$同様に $y=a-a^3{x}^2$ と接する条件は$$a^3{x}^2+mx+k-a=0$$の判別式が0となることであり、$$k=a+{\displaystyle \frac{m^2}{4a^3}}$$を得る。2つの切片を等しくすると、$a\mathrm{\ne }1$ で$$1-a={\displaystyle \frac{m^2}{4}}({\displaystyle \frac{1}{a^3}}-1)={\displaystyle \frac{m^2(1-a)(1+a+a^2)}{4a^3}}\mathrm{.}$$よって$$m^2={\displaystyle \frac{4a^3}{1+a+a^2}}\mathrm{.}$$傾きは負だから$$m=-{\displaystyle \frac{2a^{3\mathrm{/}2}}{\sqrt{1+a+a^2}}}\mathrm{.}$$ただし求める交点には切片だけが必要で、$$k=1+{\displaystyle \frac{a^3}{1+a+a^2}}⟶{\displaystyle \frac{4}{3}}(a\to 1)\mathrm{.}$$したがって共通接線と $y$ 軸との交点は$$(0,{\displaystyle \frac{4}{3}})$$に近づく。