北海道大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
変換後の点は $(ax+by,cx+dy)$ である。第1象限の任意の点 $(x,y)$ に対してこの点も第1象限にあるから、常に $ax+by>0,cx+dy>0$ である。

もし $a<0$ なら、$y=1$ と固定して $x$ を十分大きくすると $ax+b<0$ となり矛盾する。したがって $a\geqq 0$ である。もし $b<0$ なら、$x=1$ と固定して $y$ を十分大きくすると $a+by<0$ となり矛盾する。よって $b\geqq 0$ である。

同じ議論を第2成分に用いると、$c<0$ なら $y=1$ で $x$ を十分大きくすれば矛盾し、$d<0$ なら $x=1$ で $y$ を十分大きくすれば矛盾する。したがって $a\geqq 0,b\geqq 0,c\geqq 0,d\geqq 0$ である。

(2) $f$ が第1象限を第1象限へうつすので、(1)より $a,b,c,d\geqq 0$ である。$\mathrm{\Delta }=ad-bc$ とおくと、$\mathrm{\Delta }\mathrm{\ne }0$ であり、逆変換は$$f^{-1}:{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\Delta }}}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$で表される。$f^{-1}$ も第1象限を第1象限へうつすので、この逆行列の成分もすべて0以上である。

まず $\mathrm{\Delta }>0$ の場合を考える。このとき ${\displaystyle \frac{-b}{\mathrm{\Delta }}}\geqq 0,{\displaystyle \frac{-c}{\mathrm{\Delta }}}\geqq 0$ より $b\leqq 0,c\leqq 0$ である。すでに $b,c\geqq 0$ だから $b=c=0$ である。さらに $\mathrm{\Delta }=ad\mathrm{\ne }0$ なので、$a,d\geqq 0$ と合わせて $a>0,d>0$ である。

次に $\mathrm{\Delta }<0$ の場合を考える。このとき ${\displaystyle \frac{d}{\mathrm{\Delta }}}\geqq 0,{\displaystyle \frac{a}{\mathrm{\Delta }}}\geqq 0$ より $d\leqq 0,a\leqq 0$ である。すでに $a,d\geqq 0$ だから $a=d=0$ である。すると $\mathrm{\Delta }=-bc\mathrm{\ne }0$ なので、$b,c\geqq 0$ と合わせて $b>0,c>0$ である。

よって必要条件は $b=c=0,a>0,d>0$ または $a=d=0,b>0,c>0$ である。

十分性も確認する。前者では $(x,y)\mapsto (ax,dy)$ であり、逆変換も正の定数で割るだけなので、第1象限は第1象限へうつる。後者では $(x,y)\mapsto (by,cx)$ であり、正の定数倍をしながら2つの座標を入れ替えるだけなので、逆変換も同じく第1象限を第1象限へうつす。したがって求める条件は上の2通りである。

第1象限を両方向に保つと、2本の境界半直線は境界半直線へ移る

(1) 第1象限の点をすべて第1象限へ送る条件から、各列ベクトルの成分が非負であることを示す。(2) $f$ と $f^{-1}$ がともに第1象限を保つなら、$f$ は閉じた第1象限をそれ自身へ一対一に対応させる。境界をなす2本の半直線は、別々の境界半直線へ移る。この幾何学的事実から、行列の2列の配置を決める。

(1) 第1列を $\mathit{u}=(a,c)$、第2列を $\mathit{v}=(b,d)$ とする。$x>0,y>0$ に対して$$f(x,y)=x\mathit{u}+y\mathit{v}$$が第1象限に入る。もし $a<0$ なら $y$ を固定して $x$ を十分大きくすると第1成分が負になる。よって $a\geqq 0$ である。同様に $b,c,d\geqq 0$ が得られる。

(2) $f$ と $f^{-1}$ はともに第1象限を第1象限へ移すから、連続性を用いてその閉包$$K=\{(x,y)\mid x\geqq 0,y\geqq 0\}$$も互いに移し合う。したがって $f(K)=K$ である。

$K$ の境界は正の $x$ 軸と正の $y$ 軸からなる。内部の点が境界へ移ると、逆変換で境界点が内部へ戻ることになり矛盾するので、$f$ は境界を境界へ移す。特に$$f(1,0)=(a,c),f(0,1)=(b,d)$$は境界上にある。また $ad-bc\mathrm{\ne }0$ だからこの2ベクトルは同一直線上にはなく、異なる2本の境界半直線上にある。

したがって配置は次の2通りだけである。$$\begin{array}{ccc}& (a,c)& (b,d)\\ \text{対角型}& (a,0),a>0& (0,d),d>0\\ \text{交換型}& (0,c),c>0& (b,0),b>0\end{array}$$すなわち$$b=c=0,a>0,d>0,$$または$$a=d=0,b>0,c>0$$である。どちらの場合も正の定数倍と座標の交換だけなので、$f$ と $f^{-1}$ は確かに第1象限を第1象限へ移す。よってこれらは必要十分条件である。