北海道大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
各点の位置ベクトルは$$\overrightarrow{OA}=(3,0),\overrightarrow{OB}=(2,2),\overrightarrow{OC}=(4,1)$$であるから $$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=(9,3)$$ である。したがって$$3\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=(3x-9,3y-3)$$となる。長さが $3$ である条件は $(3x-9{)}^2+(3y-3{)}^2=9$ であり、両辺を $9$ で割って $(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=1$ を得る。

(2) $$\overrightarrow{AC}=(1,1),\overrightarrow{AP}=(x-3,y)$$ であるから、三角形の面積は$$[\mathrm{△}PAC]={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid 1\cdot y-1\cdot (x-3)\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }y-x+3\mathrm{\mid }$$である。

(1) の円の中心を原点に移すため $X=x-3,Y=y-1$ とおくと $$X^2+Y^2=1,y-x+3=Y-X+1$$ である。ここで $$Y-X\leqq \sqrt{Y^2+X^2}\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$$ であり、等号は $$(X,Y)=(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$$ のときに成り立つ。一方、$Y-X$ の最小値は $-\sqrt{2}$ なので、$Y-X+1$ の取り得る範囲は $$1-\sqrt{2}\leqq Y-X+1\leqq 1+\sqrt{2}$$ である。絶対値が最大になるのは右端の場合である。

したがって面積を最大にする点は $$P=(3-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$$ である。このとき最大面積は ${\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{2}}$ である。

ベクトル条件を円の方程式へ直す。三角形の底辺 $AC$ は固定されているので、面積最大は円上の点から直線 $AC$ までの距離最大と同値である。円の中心から直線へ下ろした垂線上で、直線と反対側の円周点を選ぶ。

(1) $$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=(9,3)$$なので、条件は$$(3x-9{)}^2+(3y-3{)}^2=9.$$よって$$(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=1.$$(2)
直線 $AC$ は$$y=x-3$$である。円の中心 $M=(3,1)$ からこの直線までの距離は$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1-3+3\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$円上で直線から最も遠い点は、$M$ から直線と反対側へ単位法線ベクトル$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(-1,1)$$だけ進んだ点である。したがって$$P=(3-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})\mathrm{.}$$このとき直線 $AC$ までの距離は$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}+1$$であり、$\mathrm{\mid }AC\mathrm{\mid }=\sqrt{2}$ だから最大面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2}(1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})={\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{2}}\mathrm{.}$$