北海道大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
球の中心を $C=(x,y,z)$ とし、その $xy$ 平面への射影を $C^{\mathrm{\prime }}=(x,y,0)$ とする。

球が3つの線分 $OA,OB,AB$ に接しているので、中心 $C$ からこれら3辺までの距離はいずれも球の半径 $\sqrt{6}$ である。高さ $z$ は3辺に対して共通なので、射影 $C^{\mathrm{\prime }}$ は三角形 $OAB$ の3辺から等距離にある。したがって $C^{\mathrm{\prime }}$ は三角形 $OAB$ の内心である。

三角形 $OAB$ は $$OA=OB=\sqrt{2},AB=2$$ の直角二等辺三角形である。面積は $${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=1$$ であり、半周長は $${\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}+2}{2}}=\sqrt{2}+1$$ である。よって内接円の半径は $${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+1}}=\sqrt{2}-1$$ である。対称性より $$C^{\mathrm{\prime }}=(\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1,0)$$ となる。

中心 $C$ から辺 $OA$ までの距離は、$C^{\mathrm{\prime }}$ から $OA$ までの距離 $\sqrt{2}-1$ と高さ $z$ を用いて $\sqrt{(\sqrt{2}-1{)}^2+z^2}$ である。これが球の半径 $\sqrt{6}$ に等しいので $(\sqrt{2}-1{)}^2+z^2=6$ である。ここで $(\sqrt{2}-1{)}^2=3-2\sqrt{2}$ だから $$z^2=6-(3-2\sqrt{2})=3+2\sqrt{2}=(\sqrt{2}+1{)}^2$$ である。中心は $z$ 座標正の側にあるので $z=\sqrt{2}+1$ である。したがって球 $S$ の中心は $(\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1)$ である。

(2)
球の半径を $R=\sqrt{6}$ とし、中心の高さを $h=\sqrt{2}+1$ とする。中心を基準にした高さを $u$ とおくと、水平断面の半径の2乗は $R^2-u^2$ である。したがって、その断面積は $\pi (R^2-u^2)$ である。 $xy$ 平面は中心から見て $u=-h$ の高さにあり、球の上端は $u=R$ である。よって求める体積は$$V=\pi {\int }_{-h}^R(R^2-u^2)du$$である。これを計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {[R^{2}u-{\displaystyle \frac{u^3}{3}}]}_{-h}^R}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi ({\displaystyle \frac{2R^3}{3}}+R^{2}h-{\displaystyle \frac{h^3}{3}})}\end{array}$$である。

ここで $$R^3=(\sqrt{6}{)}^3=6\sqrt{6},R^{2}h=6(\sqrt{2}+1)$$ であり、また $$h^3=(\sqrt{2}+1{)}^3=5\sqrt{2}+7$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi (4\sqrt{6}+6\sqrt{2}+6-{\displaystyle \frac{5\sqrt{2}+7}{3}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(12\sqrt{6}+13\sqrt{2}+11)}\end{array}$$である。よって ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}(11+13\sqrt{2}+12\sqrt{6})$ である。

中心を$(a,b,c)$と置き、3線分への距離を座標で比較する。接点が線分上にある条件で余分な候補を除く。体積は球全体から$xy$平面より下の小球冠を引き、球冠の体積は水平断面の定積分で確かめる。

(1)

球の中心を$C=(a,b,c)$とする。$c>0$である。線分$OA$は$x$軸上、線分$OB$は$y$軸上にあるので、中心からそれぞれの直線までの距離の2乗は$$b^2+c^2,a^2+c^2$$である。どちらも球の半径の2乗6に等しいため$a^2=b^2$である。3線分に接する中心の射影は三角形$OAB$の内側にあるから$a,b>0$であり、$a=b$となる。

直線$AB$は$$x+y-\sqrt{2}=0,z=0$$である。中心からこの直線までの距離の2乗は$$c^2+{\displaystyle \frac{(a+b-\sqrt{2}{)}^2}{2}}\mathrm{.}$$これを$OA$までの距離の2乗$b^2+c^2$と等しくし、$a=b$を用いると$${\displaystyle \frac{(2a-\sqrt{2}{)}^2}{2}}=a^2\mathrm{.}$$よって$$a^2-2\sqrt{2}a+1=0,a=\sqrt{2}\pm 1.$$$a=\sqrt{2}+1$では$OA$への垂足の$x$座標が$\sqrt{2}$を超えて線分上にない。したがって$$a=b=\sqrt{2}-1.$$さらに$$c^2=6-(\sqrt{2}-1{)}^2=(\sqrt{2}+1{)}^2$$であり$c>0$だから$$C=(\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1)\mathrm{.}$$(2)

球の半径を$R=\sqrt{6}$、中心の高さを$h=\sqrt{2}+1$とする。$xy$平面より下に出る部分は、高さ$$q=R-h=\sqrt{6}-\sqrt{2}-1$$の小球冠である。球の下端から上向きに$v$を測ると断面積は$$\pi \{R^2-(v-R{)}^2\}=\pi (2Rv-v^2)$$だから、球冠の体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}}}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^q(2Rv-v^2)dv}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi q^2}{3}}(3R-q)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める体積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4\pi R^3}{3}}-{\displaystyle \frac{\pi q^2}{3}}(3R-q)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(11+13\sqrt{2}+12\sqrt{6})\mathrm{.}}\end{array}$$