北海道大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

球面の中心を $C=(2,0,1)$、接点を $T=(x,y,z)$ とする。接線 $OT$ と半径 $CT$ は垂直だから$$\overrightarrow{OT}\cdot \overrightarrow{CT}=0$$である。すなわち$$\mathrm{\mid }T{\mathrm{\mid }}^2=C\cdot T=2x+z\mathrm{.}$$一方、$T$ は球面上にあるので$$\mathrm{\mid }T-C{\mathrm{\mid }}^2=4.$$これを展開し、$\mathrm{\mid }C{\mathrm{\mid }}^2=5$ と上の関係を用いると$$x^2+y^2+z^2=1,2x+z=1$$を得る。したがって軌跡 $A$ はこの球面と平面の交わりである円である。

$xy$ 平面への正射影
$z=1-2x$ を球面の式へ代入すると$$5{(x-{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2+y^2={\displaystyle \frac{4}{5}}\mathrm{.}$$よって$$A^{\mathrm{\prime }}:5{(x-{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2+y^2={\displaystyle \frac{4}{5}},z=0$$である。中心は $(2\mathrm{/}5,0)$、$x$ 方向の半径は $2\mathrm{/}5$、$y$ 方向の半径は $2\mathrm{/}\sqrt{5}$ である。

$xz$ 平面への正射影
必ず $z=1-2x$ である。さらに実際の点が存在する条件は$$y^2=1-x^2-z^2=x(4-5x)\geqq 0$$だから$$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}:z=1-2x,0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{4}{5}},y=0$$である。端点は $(0,0,1)$ と $(4\mathrm{/}5,0,-3\mathrm{/}5)$ である。

直角三角形 $OCT$ から接線長 $OT$ を求め、接点が単位球面上にあることを先に示す。接点円の中心と半径を求め、円の平面内の直交2方向を選んで媒介表示する。各座標を見れば、$xy$ 射影の楕円と $xz$ 射影の線分が直接読める。

三角形 $OCT$ は $T$ で直角であり$$OC=\sqrt{5},CT=2$$だから、三平方の定理より $OT=1$ である。また直角条件から $2x+z=1$ である。したがって $A$ は単位球面と平面 $2x+z=1$ の交わりである。

原点からこの平面へ下ろした垂線の足は$$H=({\displaystyle \frac{2}{5}},0,{\displaystyle \frac{1}{5}})$$である。$OH=1\mathrm{/}\sqrt{5}$ だから接点円の半径は$$\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{5}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}\mathrm{.}$$平面内の互いに垂直な単位方向として$$(0,1,0),{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}(1,0,-2)$$を選ぶと、$A$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}\cos \varphi ,}\\ {\displaystyle y}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}\sin \varphi ,}\\ {\displaystyle z}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{4}{5}}\cos \varphi }\end{array}(0\leqq \varphi <2\pi )$$と表せる。

$xy$ 平面への正射影
媒介変数を消去すると$${\displaystyle \frac{(x-2\mathrm{/}5{)}^2}{(2\mathrm{/}5{)}^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{(2\mathrm{/}\sqrt{5}{)}^2}}=1,$$すなわち$$5{(x-{\displaystyle \frac{2}{5}})}^2+y^2={\displaystyle \frac{4}{5}}\mathrm{.}$$$xz$ 平面への正射影
$x,z$ は同じ $\cos \varphi$ だけで決まり$$z=1-2x\mathrm{.}$$また $-1\leqq \cos \varphi \leqq 1$ より $0\leqq x\leqq 4\mathrm{/}5$ である。したがって $A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ は端点 $(0,0,1)$, $(4\mathrm{/}5,0,-3\mathrm{/}5)$ を結ぶ線分である。