北海道大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

直線 $m$ は $\sqrt{5}x-3=\sqrt{2}y-2=z$ で表されている。共通の値を $\lambda$ とおくと、$m$ 上の点は $({\displaystyle \frac{\lambda +3}{\sqrt{5}}},{\displaystyle \frac{\lambda +2}{\sqrt{2}}},\lambda )$ と表される。球の中心をこの点$$C=({\displaystyle \frac{\lambda +3}{\sqrt{5}}},{\displaystyle \frac{\lambda +2}{\sqrt{2}}},\lambda )$$とおく。 $y$ 軸は $(x,z)=(0,0)$ を満たす直線なので、点 $C$ から $y$ 軸までの距離の2乗は ${\left({\displaystyle \frac{\lambda +3}{\sqrt{5}}}\right)}^2+{\lambda }^2$ である。

また、直線 $l$ は点 $(0,0,1)$ を通り $x$ 軸に平行であるから $l:(s,0,1)$ と表せる。したがって点 $C$ から $l$ までの距離の2乗は、$y$ 座標と $z-1$ だけを見ればよく ${\left({\displaystyle \frac{\lambda +2}{\sqrt{2}}}\right)}^2+(\lambda -1{)}^2$ である。

球が2直線に接しているので、これら2つの距離は球の半径に等しい。よって距離の2乗を等しくして$${\left({\displaystyle \frac{\lambda +3}{\sqrt{5}}}\right)}^2+{\lambda }^2={\left({\displaystyle \frac{\lambda +2}{\sqrt{2}}}\right)}^2+(\lambda -1{)}^2$$を得る。両辺を整理すると$${\displaystyle \frac{(\lambda +3{)}^2}{5}}+{\lambda }^2={\displaystyle \frac{(\lambda +2{)}^2}{2}}+{\lambda }^2-2\lambda +1$$であり、さらに10倍して $$2(\lambda +3{)}^2+10{\lambda }^2=5(\lambda +2{)}^2+10{\lambda }^2-20\lambda +10$$ となる。展開して整理すると $$3{\lambda }^2-12\lambda +12=0$$ すなわち $(\lambda -2{)}^2=0$ である。したがって $\lambda =2$ である。

これを中心の座標に戻すと $$C=({\displaystyle \frac{5}{\sqrt{5}}},{\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}}},2)=(\sqrt{5},2\sqrt{2},2)$$ である。半径は、たとえば $y$ 軸までの距離を用いて $r^2=(\sqrt{5}{)}^2+2^2=9$ だから $r=3$ である。よって $\text{中心 }(\sqrt{5},2\sqrt{2},2),\text{半径 }3$ である。

球の中心は$y$軸と$l$への距離が等しいため、まず等距離点の条件式を作る。直線$m$では$z$を媒介変数にして$x,y$を表し、その条件式へ代入する。

球の中心を$C=(x,y,z)$とする。$y$軸までの距離の2乗は$$x^2+z^2$$である。一方、$l$は$$(s,0,1)(s\in \mathbb{R})$$と表されるので、$l$までの距離の2乗は$$y^2+(z-1{)}^2$$である。球が両方の直線に接するから$$x^2+z^2=y^2+(z-1{)}^2,$$すなわち$$\begin{array}{cccc}& x^2-y^2+2z-1=0.& & \text{(1)}\end{array}$$また$C$は直線$m$上にある。共通値が$z$そのものなので$$x={\displaystyle \frac{z+3}{\sqrt{5}}},y={\displaystyle \frac{z+2}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$これらを(1)へ代入すると$${\displaystyle \frac{(z+3{)}^2}{5}}-{\displaystyle \frac{(z+2{)}^2}{2}}+2z-1=0.$$10倍して整理すれば$$-3(z-2{)}^2=0$$となり、$z=2$である。したがって$$C=(\sqrt{5},2\sqrt{2},2)\mathrm{.}$$半径を$r$とすると、$y$軸までの距離から$$r^2=(\sqrt{5}{)}^2+2^2=9.$$よって$$\text{中心 }(\sqrt{5},2\sqrt{2},2),\text{半径 }3$$である。