北海道大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
2直線 $y=8-2x,y=5-x$ の交点は $8-2x=5-x$ より $x=3$、$y=2$ である。

積の不等式 $(2x+y-8)(x+y-5)\leqq 0$ は、2つの式の符号が反対または一方が0であることを意味する。したがって、第一象限での領域は次のように分かれる。 $0\leqq x\leqq 3$ では $5-x\leqq y\leqq 8-2x$ である。 $3\leqq x\leqq 4$ では $8-2x\leqq y\leqq 5-x$ である。 $4\leqq x\leqq 5$ では、下側の直線 $y=8-2x$ は $x$ 軸より下に来るので $0\leqq y\leqq 5-x$ である。よって $D$ は $(0,5),(0,8),(3,2),(4,0),(5,0)$ を順に結んだ折れ線で囲まれる領域である。

(2)
領域内では $x\geqq 0$、$y\geqq 0$ であるから、固定した $x$ に対して $xy$ は $y$ が最大のときに最大となる。 $0\leqq x\leqq 3$ では上側境界が $y=8-2x$ なので $xy=x(8-2x)=-2(x-2{)}^2+8$ であり、この範囲での最大値は $x=2$ のときの $8$ である。 $3\leqq x\leqq 5$ では上側境界が $y=5-x$ なので $$xy=x(5-x)=-(x-{\displaystyle \frac{5}{2}}{)}^2+{\displaystyle \frac{25}{4}}$$ である。この2次関数の軸 $x={\displaystyle \frac{5}{2}}$ は範囲の外にあり、$x\geqq 3$ では減少する。したがってこの範囲での最大値は $x=3$ のときの $3(5-3)=6$ である。以上より最大値は $8$ であり、そのときの点は $(2,4)$ である。

積が0となる2直線と座標軸で領域を確定する。$xy$ に内部の最大点があるなら固定した $x$ で上へ動かせるので、上側境界だけを調べればよい。各境界上の積を平方完成し、境界区間と頂点の位置を照合する。

(1)
境界の2直線は$$y=8-2x,y=5-x$$であり、交点は $(3,2)$ である。第一象限で積が0以下となる部分を調べると、境界頂点は$$(0,5),(0,8),(3,2),(4,0),(5,0)$$である。これらを順に結んだ五角形の内部と境界が $D$ である。

(2)
$x,y\geqq 0$ なので、固定した $x$ では上側境界で $xy$ が最大になる。

$0\leqq x\leqq 3$ では $y=8-2x$ が上側であり、$$xy=x(8-2x)=8-2(x-2{)}^2\leqq 8.$$等号は $(x,y)=(2,4)$ のときに成り立つ。

$3\leqq x\leqq 5$ では $y=5-x$ が上側であり、$$xy=x(5-x)={\displaystyle \frac{25}{4}}-{(x-{\displaystyle \frac{5}{2}})}^2\mathrm{.}$$頂点 $x=5\mathrm{/}2$ は区間外で、この区間では減少するため最大値は $x=3$ での6である。したがって全体の最大値は$$8$$であり、最大点は $(2,4)$ である。