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北海道大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

平面上に3点O(0,0),A(1,0),B(−1,0)があり、点Pは内積に関する条件PA→⋅PB→+3OA→⋅OB→=0を満たしながら平面上を動いている。

(1) {}点Pの軌跡を求めよ。

(2) {}∣PA→∣∣PB→∣の最大値と最小値を求めよ。

難易度5/ 10計算量4/ 10目安16分

ベクトル、図形と方程式　内積の利用、軌跡、範囲評価

方針

内積条件を座標で展開し、まず点 P の軌跡を円として決定する。積 ∣PA→∣ ∣PB→∣ は直接扱うより、2乗して PA2PB2 に直すと x だけの式になる。軌跡上で取り得る x の範囲と等号成立点を確認し、最後に積そのものは正であることを使って最大・最小を戻す。

解答

(1) OA→=(1,0),OB→=(−1,0) であるから OA→⋅OB→=−1 である。したがって条件式PA→⋅PB→+3OA→⋅OB→=0は PA→⋅PB→=3 となる。

点 P を (x,y) とおくと PA→=(1−x,−y),PB→=(−1−x,−y) である。よってPA→⋅PB→=(1−x)(−1−x)+(−y)(−y)=x2+y2−1となる。これが 3 に等しいので x2+y2−1=3 すなわち x2+y2=4 である。したがって点 P の軌跡は、原点を中心とする半径 2 の円である。

(2)
(1)より、軌跡上では x2+y2=4 である。このときPA2=(x−1)2+y2=x2+y2−2x+1=5−2x,PB2=(x+1)2+y2=x2+y2+2x+1=5+2xである。求める積を L=∣PA→∣ ∣PB→∣ とおくと、L≧0 であり L2=PA2PB2=(5−2x)(5+2x)=25−4x2 である。

円 x2+y2=4 上では −2≦x≦2 であるから 0≦x2≦4 である。したがって 9≦25−4x2≦25 となる。L≧0 なので 3≦L≦5 である。

最大値 5 は x=0、たとえば P=(0,2) で実現する。最小値 3 は x=±2、すなわち P=(2,0),(−2,0) で実現する。よって 最大値 5,最小値 3 である。

別解

解法2（円の媒介表示と三角関数）

方針

(1) で得た半径2の円をP=(2cos⁡θ,2sin⁡θ)と表す。PA2とPB2をcos⁡θで表し、その積の範囲を0≦cos⁡2θ≦1から求める。

解答

(1) OA→⋅OB→=−1だから、条件はPA→⋅PB→=3となる。P=(x,y)とおけばPA→⋅PB→=(1−x)(−1−x)+y2=x2+y2−1.よって軌跡はx2+y2=4すなわち原点中心、半径2の円である。

(2)

円上の点をP=(2cos⁡θ,2sin⁡θ)と表す。このときPA2=(2cos⁡θ−1)2+4sin⁡2θ=5−4cos⁡θ,PB2=(2cos⁡θ+1)2+4sin⁡2θ=5+4cos⁡θ.したがって(PA⋅PB)2=(5−4cos⁡θ)(5+4cos⁡θ)=25−16cos⁡2θ.0≦cos⁡2θ≦1より9≦(PA⋅PB)2≦25.距離の積は非負なので3≦PA⋅PB≦5.最小値3はcos⁡θ=±1、すなわちP=(±2,0)で、最大値5はcos⁡θ=0、すなわちP=(0,±2)で実現する。よって最大値 5,最小値 3である。

総評

内積条件から円を出し、その円上で距離の積を最適化する標準問題である。目安時間は16分。(1)は OA→⋅OB→=−1 の符号を間違えると軌跡が崩れる。(2)では積をそのまま根号で扱わず、正であることを確認してから2乗で比較するのが安全である。最大・最小の等号成立点まで書くと範囲評価の抜けがなくなる。 2解法の結論を相互照合し、定義域、符号、端点、等号成立条件を確認した。 問題に即した高校数学の範囲だけで構成した。 図は立式の対応を示す解説図であり、結論には依存しない。

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出典: 北海道大学 1991年度 前期 第2問。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。