Evolton
方針
まず第3の不等式を と書き直し、もとの四角形 の頂点のうち だけを切り落とす直線であることを確認する。領域の頂点は2本の斜線との交点で決まるので、それらを計算する。(2)では線形関数 の最大値は頂点でとるため、2つの新しい交点での値を比較する。
解答
(1)
第3の不等式は すなわち である。条件 から である。
まず、、、、 の表す領域は、頂点 をもつ四角形である。ここで は から成り立つので は残る。また は から成り立つので も残る。一方、 では となるため、この頂点は切り落とされる。
直線 と の交点を求める。 を代入すると だから である。
同様に、直線 と の交点は である。条件 により、これらの点はいずれも対応する辺の内部にある。
したがって領域は、頂点をこの順にもつ五角形である。
(2) は一次式なので、閉じた多角形領域では頂点で最大値をとる。 と では である。新しくできた2つの頂点での値は、それぞれ と である。これらはいずれも4以上であるため、最大値はこの2つのうち大きい方で決まる。
差を比べると、分母は正であり、である。ここで 、 だから、この差は のとき0以上、 のとき0以下である。
よって求める最大値はである。 のときは、どちらの式も となり一致する。
五角形の許容領域
別解
解法2
方針
目的関数 の等高線を右上へ動かす支持直線の方法を用いる。切断直線と上側2辺との交点を求め、どちらが最後の接点になるかを、境界直線の傾き と目的直線の傾き の大小で決める。
解答
(1)
最初の4条件は頂点 の四角形を表す。直線は を切り落とす一方、 により を残す。
との交点を 、 との交点を とするとしたがって求める領域は を頂点とする五角形である。
(2)
直線 を右上へ平行移動する。切断辺 の傾きは である。
なら なので、 は辺 を から へ進むと増加し、最後の接点は である。 なら逆に である。 では辺 と が平行で、辺全体が接点になる。
よって最大値は では両式とも5となる。
総評
難度6、計算量6。目安時間は22〜28分。最初の四角形の頂点 を第3の直線が切り落とし、2つの新しい頂点が生じる構造を図で確認する。分母 が正であることは条件 から従う。最大値の場合分けは を境に支持直線の接点が切り替わる。