北海道大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)

球面 $C$ の中心を $(x_0,y_0,z_0)$ とする。$C$ は円板 $B:z=0$ に1点で接し、かつ立体の内部にあるので、球面 $C$ の半径は中心の高さに等しく $z_0$ である。

一方、半球面 $A$ は原点を中心とする半径1の球面 $x^2+y^2+z^2=1$ の上半分である。球面 $C$ がこの球面に内側から接するためには、原点と $C$ の中心との距離に $C$ の半径を足したものが1になればよい。したがって $$\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}+z_0=1$$ である。

これより $$\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}=1-z_0$$ である。両辺を2乗して $$x_0^2+y_0^2+z_0^2=(1-z_0{)}^2=1-2z_0+z_0^2$$ となる。よって $2z_0=1-x_0^2-y_0^2$ であり、$$z_0={\displaystyle \frac{1-x_0^2-y_0^2}{2}}$$ である。

(2)

(1) より $$f(x,y)={\displaystyle \frac{1-x^2-y^2}{2}}$$ である。求める立体は、上側が半球面 $$z=\sqrt{1-x^2-y^2}$$ で、下側が $$z={\displaystyle \frac{1-x^2-y^2}{2}}$$ である。

極座標 $$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$ を用いると、$0\leqq r\leqq 1$, $0\leqq \theta \leqq 2\pi$ であり、体積 $V$ は$$V={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1\{\sqrt{1-r^2}-{\displaystyle \frac{1-r^2}{2}}\}rdrd\theta$$である。

まず$${\int }_0^{1}r\sqrt{1-r^2}dr$$を計算する。$u=1-r^2$ とおくと $du=-2rdr$ だから$${\int }_0^{1}r\sqrt{1-r^2}dr={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^1{u}^{1\mathrm{/}2}du={\displaystyle \frac{1}{3}}$$である。また$${\int }_0^1{\displaystyle \frac{r(1-r^2)}{2}}dr={\displaystyle \frac{1}{2}}{[{\displaystyle \frac{r^2}{2}}-{\displaystyle \frac{r^4}{4}}]}_0^1={\displaystyle \frac{1}{8}}$$である。

したがって$$V=2\pi ({\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{8}})=2\pi \cdot {\displaystyle \frac{5}{24}}={\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$$である。

半球面と中心軌跡の放物面

(1) は小球の半径が $z_0$ であることと、単位球への内接条件から求める。(2)は求める立体を「上半球」と「放物面 $z=(1-r^2)\mathrm{/}2$ の下の立体」の差として計算し、二重積分を一度だけ行う。

(1)
小球の半径は $z_0$ である。単位球に内接するので$$\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}+z_0=1.$$両辺を2乗して$$z_0={\displaystyle \frac{1-x_0^2-y_0^2}{2}}\mathrm{.}$$(2)
上側の半球の体積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{4\pi }{3}}={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\mathrm{.}$$下側の放物面までの体積は、極座標により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{w}}}& {\displaystyle ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1{\displaystyle \frac{1-r^2}{2}}rdrd\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi \cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める体積は$${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\mathrm{.}$$