北海道大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

交点の $x$ 座標は $x^2=-(x-a{)}^2+b$ を満たす。これを整理すると $2x^2-2ax+a^2-b=0$ である。2つの解を $x_1,x_2$ とすると、解と係数の関係より $$x_1+x_2=a,x_1{x}_2={\displaystyle \frac{a^2-b}{2}}$$ である。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (x_1-x_2{)}^2}& {\displaystyle =(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a^2-4\cdot {\displaystyle \frac{a^2-b}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2b-a^2\mathrm{.}}\end{array}$$条件 $x_1-x_2=2$ より $4=2b-a^2$ だから $$b={\displaystyle \frac{a^2+4}{2}}$$ である。

(2)

放物線 $A:y=x^2$ 上の2点 $(x_1,x_1^2)$, $(x_2,x_2^2)$ を結ぶ直線の傾きは $${\displaystyle \frac{x_1^2-x_2^2}{x_1-x_2}}=x_1+x_2$$ である。よって直線 $PQ$ は $y=(x_1+x_2)x-x_1{x}_2$ と書ける。

(1) の条件 $x_1-x_2=2$ のもとでは$$x_1+x_2=a,x_1{x}_2={\displaystyle \frac{(x_1+x_2{)}^2-(x_1-x_2{)}^2}{4}}={\displaystyle \frac{a^2-4}{4}}={\displaystyle \frac{a^2}{4}}-1$$である。したがって直線 $PQ$ は $$y=ax-({\displaystyle \frac{a^2}{4}}-1)=1+ax-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}$$ である。

ここで $a$ は任意の実数として動く。固定した $x$ に対して $$1+ax-{\displaystyle \frac{a^2}{4}}=1+x^2-{\displaystyle \frac{(a-2x{)}^2}{4}}$$ であるから、右辺の最大値は $1+x^2$ であり、これは $a=2x$ のときに実現する。一方、$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ を十分大きくすると $-a^2\mathrm{/}4$ の項により値はいくらでも小さくなる。

したがって、直線 $PQ$ の通過する領域は $y\leqq x^2+1$ である。境界 $y=x^2+1$ も含む。

(3)

直線 $PQ$ の傾きは $x_1+x_2=a$ である。したがって、$x$ 座標の差を $d=x_1-x_2$ とすると $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PQ}\mathrm{\mid }=d\sqrt{1+a^2}$$ である。ここで $x_1>x_2$ なので $d>0$ である。

条件 $\mathrm{\mid }\overrightarrow{PQ}\mathrm{\mid }=2$ より $$d^2={\displaystyle \frac{4}{1+a^2}}$$ である。一方、(1)の計算と同じく $d^2=2b-a^2$ だから $$2b-a^2={\displaystyle \frac{4}{1+a^2}}$$ であり、$$b={\displaystyle \frac{1}{2}}(a^2+{\displaystyle \frac{4}{1+a^2}})$$ である。

線分 $PQ$ の中点の $y$ 座標は$${\displaystyle \frac{x_1^2+x_2^2}{2}}={\displaystyle \frac{(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2}{2}}={\displaystyle \frac{a^2-(a^2-b)}{2}}={\displaystyle \frac{b}{2}}$$である。したがって中点の $y$ 座標は $${\displaystyle \frac{b}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}(a^2+{\displaystyle \frac{4}{1+a^2}})$$ である。 $s=a^2$ とおくと $s\geqq 0$ であり、求める値は $$F(s)={\displaystyle \frac{s}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{1+s}}$$ の最小値である。微分すると $$F^{\mathrm{\prime }}(s)={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{(1+s{)}^2}}$$ である。$F^{\mathrm{\prime }}(s)=0$ より $(1+s{)}^2=4$ であり、$s\geqq 0$ だから $s=1$ である。$0\leqq s<1$ では $F^{\mathrm{\prime }}(s)<0$、$s>1$ では $F^{\mathrm{\prime }}(s)>0$ なので、ここで最小となる。

したがって最小値は $$F(1)={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$$ である。

二つの放物線と共通弦

交点の中点を $m$、$x$ 座標の半差を $t>0$ とし、$x_1=m+t,x_2=m-t$ と置く。和と差が最初から分離され、弦の式、通過領域、長さ条件、中点の高さを同じ二変数 $m,t$ で処理できる。

交点の $x$ 座標を$$x_1=m+t,x_2=m-t(t>0)$$と置く。交点方程式の解の和が $a$ だから $a=2m$ である。また$$(x_1-x_2{)}^2=4t^2=2b-a^2$$である。

(1)
$x_1-x_2=2$ より $t=1$ なので$$b={\displaystyle \frac{a^2+4}{2}}\mathrm{.}$$(2)
$y=x^2$ 上の二点を結ぶ弦は$$y=(x_1+x_2)x-x_1{x}_2=2mx-(m^2-t^2)\mathrm{.}$$$t=1$ だから$$y=1+2mx-m^2=1+x^2-(m-x{)}^2\mathrm{.}$$$m$ は任意の実数を動くので、通過領域は$$y\leqq x^2+1$$である。

(3)
弦の傾きは $2m$ だから$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{PQ}\mathrm{\mid }=2t\sqrt{1+4m^2}=2.$$よって $t^2=1\mathrm{/}(1+4m^2)$ である。中点の高さは$${\displaystyle \frac{x_1^2+x_2^2}{2}}=m^2+t^2=m^2+{\displaystyle \frac{1}{1+4m^2}}\mathrm{.}$$$s=m^2\geqq 0$ と置けば$$G(s)=s+{\displaystyle \frac{1}{1+4s}},G^{\mathrm{\prime }}(s)=1-{\displaystyle \frac{4}{(1+4s{)}^2}}\mathrm{.}$$したがって $s=1\mathrm{/}4$ で最小となり、最小値は$${\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$$である。