北海道大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $$\alpha =\cos {72}^{\circ }+i\sin {72}^{\circ }$$ であるから、$\alpha$ は偏角 ${72}^{\circ }$ の大きさ1の複素数である。したがって $${\alpha }^5=\cos {360}^{\circ }+i\sin {360}^{\circ }=1$$ であり、$\alpha \mathrm{\ne }1$ である。 ${\alpha }^5=1$ より、$\alpha ,{\alpha }^2,{\alpha }^3,{\alpha }^4$ はすべて $x^5-1=0$ の解である。また $$x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$$ であり、これら4つの数はいずれも1ではない。したがって $\alpha ,{\alpha }^2,{\alpha }^3,{\alpha }^4$ は $x^4+x^3+x^2+x+1=0$ の4つの解である。

左辺 $(x-\alpha )(x-{\alpha }^2)(x-{\alpha }^3)(x-{\alpha }^4)$ は最高次係数1の4次式であり、右辺 $x^4+x^3+x^2+x+1$ も最高次係数1の4次式で、同じ4つの解をもつ。よって $$(x-\alpha )(x-{\alpha }^2)(x-{\alpha }^3)(x-{\alpha }^4)=x^4+x^3+x^2+x+1$$ である。

(2) $$\beta =\cos {\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{n}}+i\sin {\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{n}}$$ とする。すると $${\beta }^n=1,\beta \mathrm{\ne }1$$ であり、$\beta ,{\beta }^2,\dots ,{\beta }^{n-1}$ は互いに異なる。実際、$1\leqq j<k\leqq n-1$ で ${\beta }^j={\beta }^k$ なら ${\beta }^{k-j}=1$ となるが、$0<k-j<n$ なので矛盾する。

一方、$$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1)$$ である。したがって、1以外のn乗根である $\beta ,{\beta }^2,\dots ,{\beta }^{n-1}$ は $$x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1=0$$ のすべての解である。よって$$(x-\beta )(x-{\beta }^2)(x-{\beta }^3)\cdots (x-{\beta }^{n-1})=x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1$$である。

ここに $x=1$ を代入すると $$(1-\beta )(1-{\beta }^2)(1-{\beta }^3)\cdots (1-{\beta }^{n-1})=1+1+\cdots +1$$ となる。右辺には1がn個あるから $$(1-\beta )(1-{\beta }^2)(1-{\beta }^3)\cdots (1-{\beta }^{n-1})=n$$ である。

単位円上の $n$ 乗根

多項式の根の積を直接展開せず、$x^n-1$ を根で因数分解して $x=1$ における導関数を比較する。(1)は $n=5$ の場合、(2)は一般の $n$ の場合として同じ原理で統一する。

(1)

${\alpha }^5=1$ であり、$\alpha ,{\alpha }^2,{\alpha }^3,{\alpha }^4$ は1以外の異なる5乗根である。したがって$$x^5-1=(x-1)(x-\alpha )(x-{\alpha }^2)(x-{\alpha }^3)(x-{\alpha }^4)\mathrm{.}$$一方、$$x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$$である。多項式として比較すれば$$(x-\alpha )(x-{\alpha }^2)(x-{\alpha }^3)(x-{\alpha }^4)=x^4+x^3+x^2+x+1$$を得る。

(2)

$\beta$ は原始 $n$ 乗根なので$$x^n-1=(x-1)(x-\beta )(x-{\beta }^2)\cdots (x-{\beta }^{n-1})\mathrm{.}$$両辺を $x$ で微分し $x=1$ を代入する。右辺では積の第2項は $x-1$ を含むため消え、$$n={{\displaystyle \frac{d}{dx}}(x^n-1)\mid }_{x=1}=(1-\beta )(1-{\beta }^2)\cdots (1-{\beta }^{n-1})\mathrm{.}$$これが示すべき等式である。