北海道大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
直線 $l$ は2点 $(1,0,0)$、$(0,2,0)$ を通るので $P=(1-s,2s,0)$ と表せる。直線 $l$ の方向ベクトルを $\vec{v}=(-1,2,0)$ とする。

条件 $PQ\perp l$ より、点Qは点Pを通り $\vec{v}$ に垂直な平面上にある。この平面をHとすると $(Q-P)\cdot \vec{v}=0$ である。球面Cの中心は $R=(0,0,2)$、半径は1であるから、Hと球面Cが交わるためには、中心Rから平面Hまでの距離が1以下であればよい。

その距離は$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }(R-P)\cdot \vec{v}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }(-1+s,-2s,2)\cdot (-1,2,0)\mathrm{\mid }}{\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1-5s\mathrm{\mid }}{\sqrt{5}}}$$である。したがって必要条件は ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1-5s\mathrm{\mid }}{\sqrt{5}}}\leqq 1$ であり、これは $1-\sqrt{5}\leqq 5s\leqq 1+\sqrt{5}$ すなわち $${\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{5}}\leqq s\leqq {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{5}}$$ である。

この条件のもとで、平面Hと球面Cの交わりは円または1点である。さらにPからその交わりの円へ接線を引けば、接点Qで $PQ\perp RQ$ となる。実際、RをHへ射影した点をR'とすると $$P{R}^{\mathrm{\prime }2}=P{R}^2-{\displaystyle \frac{(1-5s{)}^2}{5}}={\displaystyle \frac{24}{5}}$$ であり、交円の半径の2乗は高々1なので、接線は存在する。

よって点Pの存在する範囲は$$P=(1-s,2s,0),{\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{5}}\leqq s\leqq {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{5}}$$である。

(2) $PQ\perp RQ$ であり、$RQ=1$ だから、三角形 $PRQ$ はQを直角とする直角三角形である。したがって $P{R}^2=P{Q}^2+R{Q}^2=P{Q}^2+1$ より $P{Q}^2=P{R}^2-1$ である。よって $PQ$ を最小にするには、Pが(1)の範囲を動くときの $PR$ を最小にすればよい。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{R}^2}& {\displaystyle =(1-s{)}^2+(2s{)}^2+(0-2{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5s^2-2s+5}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5{(s-{\displaystyle \frac{1}{5}})}^2+{\displaystyle \frac{24}{5}}}\end{array}$$である。したがって $P{R}^2$ は $s={\displaystyle \frac{1}{5}}$ のとき最小となる。この値は $${\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{5}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{5}}\leqq {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{5}}$$ を満たすので、(1)の範囲内にある。

よって求める点Pは $P({\displaystyle \frac{4}{5}},{\displaystyle \frac{2}{5}},0)$ である。

球面の接点と直線上の点

点 $P$ を直線の媒介変数で表し、条件 $PQ\perp l$ が作る平面と球面の位置関係を調べる。平面内では $PQ\perp RQ$ が交円への接線条件になることを、中心の正射影を用いて確認する。

(1) $$P=(1-s,2s,0),\mathit{v}=(-1,2,0)$$と置く。$PQ\perp l$ より $Q$ は$$H_s:(X-P)\cdot \mathit{v}=0$$上にある。球の中心 $R=(0,0,2)$ と平面 $H_s$ の距離は$$h={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }(R-P)\cdot \mathit{v}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\mathit{v}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1-5s\mathrm{\mid }}{\sqrt{5}}}\mathrm{.}$$したがって $H_s$ が球面と交わる必要十分条件は $h\leqq 1$、すなわち$${\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{5}}\leqq s\leqq {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{5}}$$である。

十分性も確認する。$R^{\mathrm{\prime }}$ を $R$ の $H_s$ への正射影とすると$$P{R}^{\mathrm{\prime }2}=P{R}^2-h^2={\displaystyle \frac{24}{5}}\mathrm{.}$$一方、交円の半径 $\rho$ は ${\rho }^2=1-h^2\leqq 1$ であるから $P{R}^{\mathrm{\prime }}>\rho$ であり、$P$ から交円へ接線を引ける。その接点を $Q$ とすれば $PQ\perp R^{\mathrm{\prime }}Q$ である。また $R{R}^{\mathrm{\prime }}\perp H_s$ なので $PQ\perp R{R}^{\mathrm{\prime }}$ でもあり、$PQ\perp RQ$ が従う。

よって $P$ の範囲は$$P=(1-s,2s,0),{\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{5}}\leqq s\leqq {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{5}}\mathrm{.}$$(2)

$\mathrm{△}PQR$ は $Q$ で直角、$RQ=1$ だから$$P{Q}^2=P{R}^2-1=5s^2-2s+4=5{(s-{\displaystyle \frac{1}{5}})}^2+{\displaystyle \frac{19}{5}}\mathrm{.}$$$s=1\mathrm{/}5$ は(1)の範囲内にあるので、最小点は$$P=({\displaystyle \frac{4}{5}},{\displaystyle \frac{2}{5}},0)\mathrm{.}$$