北海道大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)

底面 $ABC$ は一辺3の正三角形である。その外接円の半径は $${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}$$ である。$PA=PB=PC=2$ なので、点 $P$ は底面の外心、すなわち正三角形の中心の真上にある。

四面体の高さを $h$ とすると、底面の中心から各頂点までの距離が $\sqrt{3}$ であるから $h^2+(\sqrt{3}{)}^2=2^2$ である。したがって $h^2=1,h=1$ である。

底面積は $${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\cdot 3^2={\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{4}}$$ である。よって四面体 $PABC$ の体積は $${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{4}}\cdot 1={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}$$ である。

(2)

座標を$$A=(0,0,0),B=(3,0,0),C=({\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}},0)$$とおく。底面の中心は $({\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},0)$ であり、(1)より高さは1だから $$P=({\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},1)$$ とおける。 $AE=AF=s$ とおく。$E$ は辺 $AB$ 上、$F$ は辺 $AC$ 上にあるので $$E=(s,0,0),F=({\displaystyle \frac{s}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}s}{2}},0)$$ である。ただし $0\leqq s\leqq 3$ である。

まず$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{E}^2}& {\displaystyle ={(s-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2+{(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})}^2+(-1{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =s^2-3s+4.}\end{array}$$同様に $P{F}^2=s^2-3s+4$ である。また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{PE}\cdot \overrightarrow{PF}}& {\displaystyle =(s-{\displaystyle \frac{3}{2}})({\displaystyle \frac{s}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}})+(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}(s-1)}{2}}\right)+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{s^2}{2}}-3s+4.}\end{array}$$したがって$$\cos \mathrm{\angle }EPF={\displaystyle \frac{\overrightarrow{PE}\cdot \overrightarrow{PF}}{\mathrm{\mid }PE\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }PF\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{s^2}{2}}-3s+4}{s^2-3s+4}}\mathrm{.}$$これが $4\mathrm{/}5$ に等しいから $$5({\displaystyle \frac{s^2}{2}}-3s+4)=4(s^2-3s+4)$$ である。整理すると $3s^2+6s-8=0$ を得る。よって $$s={\displaystyle \frac{-6\pm \sqrt{36+96}}{6}}=-1\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{33}}{3}}$$ である。$s=AE\geqq 0$ なので、採用できるのは $$s=-1+{\displaystyle \frac{\sqrt{33}}{3}}$$ である。これは $0<s<3$ も満たす。したがって $$AE=-1+{\displaystyle \frac{\sqrt{33}}{3}}$$ である。

底面中心と等距離の頂点

底面の中心を $G$ とし、$PG$ を高さとして(1)を求める。(2)は $AE=AF=s$ と置く。三角形 $PAB$ の底辺 $AB$ への中線を使って $P{E}^2$ を求め、正三角形 $AEF$ から $EF=s$ として、三角形 $PEF$ に余弦定理を適用する。

(1)
底面の中心を $G$ とする。正三角形 $ABC$ の外接円半径は $\sqrt{3}$ だから$$PG=\sqrt{P{A}^2-G{A}^2}=\sqrt{4-3}=1.$$底面積は $9\sqrt{3}\mathrm{/}4$ なので$$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{4}}\cdot 1={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}\mathrm{.}$$(2)
$AE=AF=s$ と置く。$AB$ の中点を $M$ とすると、二等辺三角形 $PAB$ で$$P{M}^2=P{A}^2-A{M}^2=4-{\displaystyle \frac{9}{4}}={\displaystyle \frac{7}{4}}\mathrm{.}$$したがって$$P{E}^2=P{M}^2+M{E}^2={\displaystyle \frac{7}{4}}+{(s-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2=s^2-3s+4.$$対称性から $P{F}^2=s^2-3s+4$ である。また $\mathrm{\angle }EAF={60}^{\circ }$ かつ $AE=AF=s$ なので、$\mathrm{△}AEF$ は正三角形で $EF=s$ である。

$\mathrm{△}PEF$ に余弦定理を用いると$${\displaystyle \frac{4}{5}}=\cos \mathrm{\angle }EPF=1-{\displaystyle \frac{s^2}{2(s^2-3s+4)}}\mathrm{.}$$よって$$3s^2+6s-8=0.$$$0\leqq s\leqq 3$ に入る根を選び$$AE=s=-1+{\displaystyle \frac{\sqrt{33}}{3}}$$である。