北海道大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

直線 $OA$ の方向ベクトルは $$\overrightarrow{OA}=(-1,1,0)$$ である。直線 $OA$ 上の点 $H$ を $H=(-s,s,0)$ とおく。$CH$ と $OA$ が垂直である条件は $(H-C)\cdot (-1,1,0)=0$ である。ここで $H-C=(-s,s-1,-1)$ だから $$(-s,s-1,-1)\cdot (-1,1,0)=s+s-1=2s-1$$ である。したがって $s={\displaystyle \frac{1}{2}}$ であり、$$H=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},0)$$ である。

次に $C^{\mathrm{\prime }}=(0,1,0)$ なので$$\overrightarrow{HC}=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},1),\overrightarrow{H{C}^{\mathrm{\prime }}}=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},0)$$である。よって $$\overrightarrow{HC}\cdot \overrightarrow{H{C}^{\mathrm{\prime }}}={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であり、$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{HC}\mathrm{\mid }=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+1}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{2}}},\mathrm{\mid }\overrightarrow{H{C}^{\mathrm{\prime }}}\mathrm{\mid }=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}$$である。したがって $$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1\mathrm{/}2}{\sqrt{3\mathrm{/}2}\sqrt{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ である。

(2)

直線 $OA$ 上の点を $P=(-s,s,0)$ とおく。また直線 $BC$ の方向ベクトルは $C-B=(-1,1,1)$ であるから、直線 $BC$ 上の点を $Q=B+u(C-B)=(1-u,u,u)$ とおく。

2本のねじれの位置にある直線上の点の距離が最小になるとき、$\overrightarrow{PQ}$ は両方の直線の方向ベクトルに垂直である。ここで $$\overrightarrow{PQ}=Q-P=(1-u+s,u-s,u)$$ である。したがって $$\overrightarrow{PQ}\cdot (-1,1,0)=0$$ および $$\overrightarrow{PQ}\cdot (-1,1,1)=0$$ を満たせばよい。

第1式は $-(1-u+s)+(u-s)=0$ すなわち $u-s={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。第2式は $-(1-u+s)+(u-s)+u=0$ すなわち $3u-2s-1=0$ である。これらを解くと $u=0,s=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

よって $$P=({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}},0),Q=(1,0,0)$$ である。

(1) は直交射影の係数を内積で求める。(2)は2本の直線の媒介変数を入れた後，距離の2乗を2つの平方の和へ整理し，最小点を偏微分なしで読み取る。

(1) $$H=\lambda A=(-\lambda ,\lambda ,0)$$ とおく。$CH\perp OA$ より$$(\lambda A-C)\cdot A=0.$$したがって$$\lambda ={\displaystyle \frac{C\cdot A}{A\cdot A}}={\displaystyle \frac{1}{2}},H=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},0)\mathrm{.}$$また$$\overrightarrow{HC}=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},1),\overrightarrow{H{C}^{\mathrm{\prime }}}=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},0)\mathrm{.}$$内積から$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1\mathrm{/}2}{\sqrt{3\mathrm{/}2}\sqrt{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$(2)$$P=(-s,s,0),Q=(1-u,u,u)$$とおく。$v=u-s$ と置き直すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{Q}^2}& {\displaystyle =(1-u+s{)}^2+(u-s{)}^2+u^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-v{)}^2+v^2+u^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{(v-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+u^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって最小となるのは$$v={\displaystyle \frac{1}{2}},u=0.$$$v=u-s$ より $s=-1\mathrm{/}2$ なので$$P=({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}},0),Q=(1,0,0)\mathrm{.}$$