北海道大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $$\alpha =\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$$ であるから、自然数 $k$ について $${\alpha }^k=\cos {\displaystyle \frac{2\pi k}{n}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi k}{n}}$$ である。また、$$\bar{\alpha }=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}-i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$$ なので $${\bar{\alpha }}^k=\cos {\displaystyle \frac{2\pi k}{n}}-i\sin {\displaystyle \frac{2\pi k}{n}}$$ である。両者を加えると虚部が消えて $${\alpha }^k+{\bar{\alpha }}^k=2\cos {\displaystyle \frac{2\pi k}{n}}$$ となる。

(2) ${\alpha }^n=1$、$\alpha \mathrm{\ne }1$ であり、$\alpha ,{\alpha }^2,\dots ,{\alpha }^{n-1}$ は互いに異なる1以外のn乗根である。さらに $$x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1)$$ だから、これらは $$x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1=0$$ のすべての解である。

したがって、最高次係数1の多項式として$$(x-\alpha )(x-{\alpha }^2)\cdots (x-{\alpha }^{n-1})=x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1$$である。ここに $x=1$ を代入すると $$n=(1-\alpha )(1-{\alpha }^2)\cdots (1-{\alpha }^{n-1})$$ を得る。

(3)
(2)の両辺の絶対値をとる。左辺の $n$ は正の実数なので絶対値はnである。 $1\leqq k\leqq n-1$ とする。点1と点 ${\alpha }^k$ は単位円上にあり、中心角は $2\pi k\mathrm{/}n$ であるから、弦の長さは $$\mathrm{\mid }1-{\alpha }^k\mathrm{\mid }=2\sin {\displaystyle \frac{\pi k}{n}}$$ である。ここで $0<\pi k\mathrm{/}n<\pi$ なので、$\sin (\pi k\mathrm{/}n)>0$ である。

よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle n}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }1-\alpha \mathrm{\mid }\mathrm{\mid }1-{\alpha }^2\mathrm{\mid }\cdots \mathrm{\mid }1-{\alpha }^{n-1}\mathrm{\mid }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2^{n-1}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{n}}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}\cdots \sin {\displaystyle \frac{(n-1)\pi }{n}}}\end{array}$$である。したがって$${\displaystyle \frac{n}{2^{n-1}}}=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{n}}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}\cdots \sin {\displaystyle \frac{(n-1)\pi }{n}}$$が成り立つ。

根の積と弦の長さ

(2) を多項式 $P(x)=1+x+\cdots +x^{n-1}$ の根表示から導く。(3)では各因子 $1-{\alpha }^k$ を単位円の弦としてではなく、半角公式を用いて絶対値 $2\sin (\pi k\mathrm{/}n)$ に変換する。

(1) $$\bar{\alpha }=\cos (2\pi \mathrm{/}n)-i\sin (2\pi \mathrm{/}n)={\alpha }^{-1}$$ である。ド・モアブルの定理より$${\alpha }^k=\cos {\displaystyle \frac{2\pi k}{n}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi k}{n}},$$$${\bar{\alpha }}^k=\cos {\displaystyle \frac{2\pi k}{n}}-i\sin {\displaystyle \frac{2\pi k}{n}}\mathrm{.}$$両式を加えれば主張を得る。

(2) $$P(x)=1+x+\cdots +x^{n-1}={\displaystyle \frac{x^n-1}{x-1}}$$の根は $\alpha ,{\alpha }^2,\dots ,{\alpha }^{n-1}$ である。最高次係数は1なので$$P(x)=(x-\alpha )(x-{\alpha }^2)\cdots (x-{\alpha }^{n-1})\mathrm{.}$$$x=1$ を代入すると$$n=P(1)=(1-\alpha )(1-{\alpha }^2)\cdots (1-{\alpha }^{n-1})\mathrm{.}$$(3)

(2) の絶対値を取る。$0<k<n$ では $0<\pi k\mathrm{/}n<\pi$ だから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }1-{\alpha }^k{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =(1-{\alpha }^k)(1-{\bar{\alpha }}^k)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-({\alpha }^k+{\bar{\alpha }}^k)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-2\cos {\displaystyle \frac{2\pi k}{n}}=4{\sin }^2{\displaystyle \frac{\pi k}{n}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって $$\mathrm{\mid }1-{\alpha }^k\mathrm{\mid }=2\sin (\pi k\mathrm{/}n)$$ である。したがって$$n=2^{n-1}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{n}}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}\cdots \sin {\displaystyle \frac{(n-1)\pi }{n}},$$すなわち$${\displaystyle \frac{n}{2^{n-1}}}=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{n}}\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}\cdots \sin {\displaystyle \frac{(n-1)\pi }{n}}\mathrm{.}$$