北海道大学 2005年度 前期日程理系数学 第5問

解法1

次の4点を考える。 $A(1,1,1),B(1,-1,-1),C(-1,1,-1),D(-1,-1,1)$ このとき、例えば $$AB=\sqrt{0^2+2^2+2^2}=2\sqrt{2}$$ であり、同様に他の辺の長さもすべて $2\sqrt{2}$ である。したがってこの4点は正四面体の頂点である。

また原点から各頂点までの距離は $$\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$$ である。よって、この正四面体の外接球の半径は $\sqrt{3}$、一辺の長さは $2\sqrt{2}$ である。

一辺の長さを $s$、外接球の半径を $R$ とすると、相似により $${\displaystyle \frac{R}{s}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}$$ である。いま $R=1$ だから $$1={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}s$$ となる。したがって $$s={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}}$$ である。求める一辺の長さは ${\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}}$ である。

比の検算

得られた値 $$s={\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}}$$ に対して$${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}s=1$$となり、外接球半径の条件と一致する。

底面の正三角形の重心と頂点を結ぶ高さを使う。外接球の中心がこの高さ上にあることと、頂点・底面頂点までの距離が等しいことから、外接球半径と一辺の比を導く。

正四面体の一辺を $s$ とし、底面を正三角形 $BCD$、その重心を $G$、頂点を $A$ とする。正三角形の重心から頂点までの距離は $$BG={\displaystyle \frac{s}{\sqrt{3}}}$$ である。したがって正四面体の高さ $AG=h$ は $$h^2=s^2-{\left({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{3}}}\right)}^2={\displaystyle \frac{2}{3}}{s}^2$$ より $$h=s\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}$$ である。

外接球の中心 $O$ は対称性により直線 $AG$ 上にある。$OG=u$ とおくと、外接球半径は $OA=h-u$ であり、また $$O{B}^2=u^2+{\left({\displaystyle \frac{s}{\sqrt{3}}}\right)}^2$$ である。$OA=OB$ だから $$(h-u{)}^2=u^2+{\displaystyle \frac{s^2}{3}}$$ となる。整理して $$h^2-2hu={\displaystyle \frac{s^2}{3}}$$ である。ここで $$h^2={\displaystyle \frac{2s^2}{3}}$$ なので $${\displaystyle \frac{2s^2}{3}}-2hu={\displaystyle \frac{s^2}{3}}$$ となり、$$u={\displaystyle \frac{s^2}{6h}}={\displaystyle \frac{h}{4}}$$ である。したがって外接球半径 $R$ は $$R=OA=h-u={\displaystyle \frac{3}{4}}h={\displaystyle \frac{3}{4}}s\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}s$$ である。$R=1$ として $$s={\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}}$$ を得る。