北海道大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
不等式 $n^2-5n+5<0$ を考える。方程式 $n^2-5n+5=0$ の解は $${\displaystyle n=\frac{5\pm \sqrt{5}}{2}}$$ である。二次式の係数は正なので、不等式をみたす実数 $n$ は $${\displaystyle \frac{5-\sqrt{5}}{2}<n<\frac{5+\sqrt{5}}{2}}$$ である。

ここで $${\displaystyle 1<\frac{5-\sqrt{5}}{2}<2,3<\frac{5+\sqrt{5}}{2}<4}$$ だから、この範囲に入る整数は $n=2,3$ である。

(2)
$[x]$ は整数である。したがって $[x{]}^2-5[x]+5<0$ をみたすには、(1)より $[x]=2,3$ であることが必要十分である。

$[x]=2$ は $2\leqq x<3$ を意味し、$[x]=3$ は $3\leqq x<4$ を意味する。よって求める $x$ の範囲は $2\leqq x<4$ である。

(3)
(2)より、$x$ は $2\leqq x<4$ にあるので、$[x]=2$ または $[x]=3$ である。

まず $[x]=2$ のとき、$2\leqq x<3$ であり、方程式は $x^2-5\cdot 2+5=0$ すなわち $x^2=5$ となる。$x$ は正なので候補は $x=\sqrt{5}$ である。実際に $2<\sqrt{5}<3$ だから、この解は条件に合う。

次に $[x]=3$ のとき、$3\leqq x<4$ であり、方程式は $x^2-5\cdot 3+5=0$ すなわち $x^2=10$ となる。候補は $$x=\sqrt{10}$$ であり、$$3<\sqrt{10}<4$$ だから、この解も条件に合う。

以上より、求める解は $$x=\sqrt{5},\sqrt{10}$$ である。