北大 2011年度文系数学第2問｜問題・解答・解説

方針

(1) は2点P,Qを通る条件を連立して $b, c$ を決める。(2) は導関数からP,Qでの接線を求め、2直線の交点を計算する。(3) は交点を境に、左側では放物線と $l_{1}$ 、右側では放物線と $l_{2}$ の差を積分する。接点での接線との差が $a (x + 1)^{2}$ 、 $a (x - 1)^{2}$ の平方になることを使うと、上下関係と面積計算が同時に整理できる。

解答

(1)
放物線 $y = a x^{2} + b x + c$ が $P (- 1, 3)$ 、 $Q (1, 4)$ を通るので、 $a - b + c = 3, a + b + c = 4$ である。2式を引くと $2 b = 1$ より $b = \frac{1}{2}$ である。これを $a + b + c = 4$ に代入して $a + \frac{1}{2} + c = 4$ となるから $c = \frac{7}{2} - a$ である。

(2)
(1)より $C : y = a x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{7}{2} - a$ である。導関数は $y^{'} = 2 a x + \frac{1}{2}$ である。

点Pでの接線 $l_{1}$ の傾きは $- 2 a + \frac{1}{2}$ であるから、 $l_{1} : y - 3 = (- 2 a + \frac{1}{2}) (x + 1)$ すなわち $l_{1} : y = (- 2 a + \frac{1}{2}) x + \frac{7}{2} - 2 a$ である。

点Qでの接線 $l_{2}$ の傾きは $2 a + \frac{1}{2}$ であるから、 $l_{2} : y - 4 = (2 a + \frac{1}{2}) (x - 1)$ すなわち $l_{2} : y = (2 a + \frac{1}{2}) x + \frac{7}{2} - 2 a$ である。

2本の接線は切片が等しいので、交点は $x = 0$ のところにあり、座標は $(0, \frac{7}{2} - 2 a)$ である。

(3)
(2)の交点は $x = 0$ 上にあるので、囲まれた部分は $- 1 ≦ x ≦ 0$ と $0 ≦ x ≦ 1$ に分けて考える。

左側では放物線と $l_{1}$ の差が $(a x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{7}{2} - a) - {(- 2 a + \frac{1}{2}) x + \frac{7}{2} - 2 a} = a (x + 1)^{2}$ である。 $a > 0$ だから、放物線は接線 $l_{1}$ の上側にある。

右側では放物線と $l_{2}$ の差が $(a x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{7}{2} - a) - {(2 a + \frac{1}{2}) x + \frac{7}{2} - 2 a} = a (x - 1)^{2}$ である。したがって、求める面積Sは $S = \int_{- 1}^{0} a (x + 1)^{2} d x + \int_{0}^{1} a (x - 1)^{2} d x$ である。

それぞれ $\int_{- 1}^{0} (x + 1)^{2} d x = \int_{0}^{1} u^{2} d u = \frac{1}{3},$ $\int_{0}^{1} (x - 1)^{2} d x = \int_{0}^{1} (1 - x)^{2} d x = \frac{1}{3}$ だから $S = \frac{2 a}{3}$ である。これが1に等しいので $\frac{2 a}{3} = 1$ より $a = \frac{3}{2}$ である。

総評

接線方程式と面積積分を組み合わせる標準問題である。目安時間は18分。接線の式は点P,Qを通る形で立てると符号ミスが少ない。(3) では2本の接線の交点が $x = 0$ にあるため、積分区間を左右に分ける必要がある。接線との差が接点を重解にもつ平方になることを確認しておくと、上下関係を迷わず判断できる。

出典: 北海道大学 2011年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

北海道大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

方針

解答

総評

北海道大学 2011年度前期日程第2次学力試験文系数学第2問