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北海道大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

a，bを実数とする。
方程式x2+ax+b=0が実数解をもち，
すべての解の絶対値が1以下であるとする。

(1) この条件を満たす点(a, b)全体をab平面上に図示せよ。

(2) a+2bの最大値と最小値を求めよ。

難易度6/ 10計算量5/ 10目安20分

方程式・不等式、図形と方程式　解と係数の関係、範囲評価、図形的解釈

方針

2つの実数解を u,v とおくと，解と係数の関係から a=−(u+v)，b=uv であり，条件は −1≦u,v≦1 である。s=u+v=−a を固定し，正方形 [−1,1]2 と直線 u+v=s の交線上で積 uv の最大・最小を求め，ab 平面の領域を出す。(2)は上側の放物線と下側の折れ線を分けて一次式 a+2b を評価する。

解答

(1)
方程式の2つの実数解を u,v とする。条件より −1≦u≦1,−1≦v≦1 であり，解と係数の関係から u+v=−a,uv=b である。 s=u+v とおくと，−2≦s≦2，すなわち −2≦a≦2 である。固定した s に対して v=s−u と書くと uv=u(s−u)=−(u−s2)2+s24 であるから，最大値は u=v=s/2 のとき uv≦s24=a24 である。
最小値は，直線 u+v=s が正方形 [−1,1]2 と交わる線分の端で起こる。0≦s≦2 のときは端点 (s−1,1)，(1,s−1) で uv=s−1 である。−2≦s≦0 のときは端点 (−1,s+1)，(s+1,−1) で uv=−s−1 である。a=−s に戻すと，いずれの場合も uv≧∣a∣−1 となる。
よって求める領域は −2≦a≦2,∣a∣−1≦b≦a24 である。図では，折れ線 b=∣a∣−1 と放物線 b=a2/4 にはさまれた部分を境界を含めて塗ればよい。
(2) a+2b は b の係数が正なので，最大値は上側境界 b=a2/4 上を調べればよい。このとき a+2b=a+a22 である。これは −2≦a≦2 で下に凸の2次式だから，最大値は端点で比較すればよい。 a=−2 のとき 0,a=2 のとき 4 より，最大値は 4 である。
最小値は下側境界 b=∣a∣−1 上で調べる。−2≦a≦0 では a+2b=a+2(−a−1)=−a−2 であり，最小は a=0 のとき −2 である。0≦a≦2 では a+2b=a+2(a−1)=3a−2 であり，最小は a=0 のとき −2 である。したがって最小値は −2 である。

青い領域が2根とも [−1,1] に入る係数範囲。

別解

解法2

方針

2根を u,v とする点は主解法と同じだが，(2)では a+2b=−(u+v)+2uv を正方形 [−1,1]2 上の双一次式として直接評価する。各変数について一次式なので，最大・最小は四隅で決まる。

解答

(1) 2根を u,v とするとa=−(u+v),b=uv,−1≦u,v≦1である。s=u+v=−a を固定するとuv=u(s−u)=−(u−s2)2+s24≦a24.一方，直線 u+v=s と正方形 [−1,1]2 の交線分の端で積が最小になる。s≧0 では uv≧s−1，s≦0 では uv≧−s−1 なので−2≦a≦2,∣a∣−1≦b≦a24を得る。
(2) 求める式を根で表すとF(u,v)=−(u+v)+2uvである。v を固定すると F は u の一次式だから，最大・最小は u=±1 のどちらかで起こる。その各場合はさらに v の一次式なので，結局，正方形の四隅だけを調べればよい。(u,v)(1,1)(1,−1)(−1,1)(−1,−1)F(u,v)0−2−24したがって最大値は 4，最小値は −2 である。

総評

難度6，計算量5。2解がともに [−1,1] にある条件を，解と係数の関係で (u,v) の正方形から (a,b) 平面へ写す問題である。領域の下側境界は判別式だけでは出ず，固定した和のもとで積の最小を端点で取ることが重要である。(2)では線形関数なので境界を調べればよいが，上側は放物線，下側は折れ線で性質が違う。符号を含む a=−s の戻し間違いが起こりやすい。20分程度で，図示と最大最小まで丁寧にまとめたい。

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出典: 北海道大学 2007年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。