北海道大学 2005年度 前期日程文系数学 第2問

(1)

方程式 $x^2-2kx-3k^2+1=0$ の判別式を $D$ とする。虚数解をもつための条件は、実数解をもたないこと、すなわち $D<0$ である。ここで $$D=(-2k{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3k^2+1)=4k^2+12k^2-4=16k^2-4$$ だから、$16k^2-4<0$ となる。よって $k^2<{\displaystyle \frac{1}{4}}$ であり、求める範囲は $-{\displaystyle \frac{1}{2}}<k<{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

(2) $k$ を定数として積分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(k)}& {\displaystyle ={\int }_0^k(x^2-2kx-3k^2+1)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-k{x}^2-3k^{2}x+x]}_0^k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{k^3}{3}}-k^3-3k^3+k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =k-{\displaystyle \frac{11}{3}}{k}^3}\end{array}$$である。したがって $F^{\mathrm{\prime }}(k)=1-11k^2$ であり、$-{\displaystyle \frac{1}{2}}<k<{\displaystyle \frac{1}{2}}$ における停留点は $$k=\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{11}}}$$ である。

導関数の符号は、$$F^{\mathrm{\prime }}(k)<0(-{\displaystyle \frac{1}{2}}<k<-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{11}}}),$$ $$F^{\mathrm{\prime }}(k)>0(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{11}}}<k<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{11}}}),$$ $$F^{\mathrm{\prime }}(k)<0({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{11}}}<k<{\displaystyle \frac{1}{2}})$$ となる。よって $F(k)$ は $$k=-1\mathrm{/}\sqrt{11}$$ で最小値を、$$k=1\mathrm{/}\sqrt{11}$$ で最大値をとる。

実際、$$F\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{11}}}\right)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{11}}}-{\displaystyle \frac{11}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{11\sqrt{11}}}={\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{11}}}$$であり、奇関数であるから $$F(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{11}}})=-{\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{11}}}$$ である。したがって$$\text{最小値 }-{\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{11}}},\text{最大値 }{\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{11}}}$$である。

端点と全体最大・最小の確認

$k=\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}$ は許された範囲に含まれない。ただしその極限値は $\pm {\displaystyle \frac{1}{24}}$ であり、$${\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{11}}}>{\displaystyle \frac{1}{24}}$$なので、区間内の停留点で得た値が実際の全体最大・最小である。

積分後の関数が奇関数であることを使い、正の範囲だけを調べる。微分の代わりに三次式を因数分解して上界を示し、等号条件から最大値を決める。

(1)

判別式は$$D=16k^2-4$$である。虚数解をもつ条件 $D<0$ より$$-{\displaystyle \frac{1}{2}}<k<{\displaystyle \frac{1}{2}}$$を得る。

(2)

積分すると$$F(k)=k-{\displaystyle \frac{11}{3}}{k}^3$$であり、これは奇関数である。そこで $0\leqq k<{\displaystyle \frac{1}{2}}$ だけを考え、$$u=\sqrt{11}k$$とおく。このとき$$F(k)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{11}}}(u-{\displaystyle \frac{u^3}{3}})\mathrm{.}$$一方、$${\displaystyle \frac{2}{3}}-u+{\displaystyle \frac{u^3}{3}}={\displaystyle \frac{(u-1{)}^2(u+2)}{3}}\geqq 0$$であるから$$F(k)\leqq {\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{11}}}\mathrm{.}$$等号は $u=1$、すなわち $$k={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{11}}}$$ のときに成立し、この値は許された範囲内にある。奇関数であることから負の側では符号が反転する。よって$$\text{最小値 }-{\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{11}}},\text{最大値 }{\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{11}}}$$である。