北海道大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $F(x)=x^3+x^2-2x-1$ とおく。値を調べると $F(-2)=-1,F(-1)=1$ なので，$(-2,-1)$に少なくとも1つの実数解がある。また $F(-1)=1,F(0)=-1$ なので，$(-1,0)$にも少なくとも1つの実数解がある。さらに $F(1)=-1,F(2)=7$ なので，$(1,2)$にも少なくとも1つの実数解がある。

3次方程式は実数解を重複を込めて高々3つしか持たない。上で得た3つの区間は互いに交わらないので，方程式は異なる3つの実数解を持つ。どの区間も0を含まないので，これらはすべて0でない実数解である。

(2) $r$を方程式の解$s,t,u$のいずれかとする。すると $r^3+r^2-2r-1=0$ である。$r\mathrm{\ne }0$なので，これに$r^{n-1}$を掛けて $$r^{n+2}+r^{n+1}-2r^n-r^{n-1}=0$$ を得る。

この等式を，$r=s,t,u$それぞれについて，定義式に現れる分母で割って足し合わせると $$a_{n+3}+a_{n+2}-2a_{n+1}-a_n=0$$ となる。分母が0でないのは，(1)より$s,t,u$が互いに異なるからである。

(3)
まず初めの3項を求める。任意の2次以下の多項式$G(x)$に対して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle H(x)=}& {\displaystyle \frac{G(s)(x-t)(x-u)}{(s-t)(s-u)}+\frac{G(t)(x-u)(x-s)}{(t-u)(t-s)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +\frac{G(u)(x-s)(x-t)}{(u-s)(u-t)}}\end{array}$$とおく。$H(s)=G(s)$，$H(t)=G(t)$，$H(u)=G(u)$である。したがって2次以下の多項式$H(x)-G(x)$は異なる3数$s,t,u$を根にもつので，恒等的に0である。よって$H(x)=G(x)$であり，両辺の$x^2$の係数を比べると$$\frac{G(s)}{(s-t)(s-u)}+\frac{G(t)}{(t-u)(t-s)}+\frac{G(u)}{(u-s)(u-t)}$$は$G(x)$の$x^2$の係数に等しい。

ここで$G(x)=1,x,x^2$を順に代入すると，それぞれの$x^2$の係数から$$a_1=0,a_2=0,a_3=1$$を得る。(2)の漸化式は $$a_{n+3}=-a_{n+2}+2a_{n+1}+a_n$$ と書ける。右辺の係数はすべて整数であり，初期値$a_1,a_2,a_3$も整数である。したがって数学的帰納法により，すべての$n$について$a_n$は整数である。

(1) は多項式の符号変化，(2)は各根が満たす三次方程式をそのまま用いる。(3)では補間の恒等式を使わず，共通分母$\mathrm{\Delta }=(s-t)(s-u)(t-u)$へ3項を通分する。$a_1,a_2$の分子が0，$a_3$の分子が$\mathrm{\Delta }$になることを式で示し，初期値$0,0,1$と整数係数の漸化式から帰納的に整数性を結論する。

(1)
$F(x)=x^3+x^2-2x-1$とおくと，$$F(-2)<0<F(-1),F(-1)>0>F(0),F(1)<0<F(2)$$である。互いに交わらない3区間に1根ずつあり，3次方程式なのでこれらが異なる3実根のすべてである。各区間は$0$を含まない。

(2)
各根$r=s,t,u$について$$r^{n+2}+r^{n+1}-2r^n-r^{n-1}=0$$である。これを各項の分母で割って3根について足すと$$a_{n+3}+a_{n+2}-2a_{n+1}-a_n=0$$を得る。

(3) $$\mathrm{\Delta }=(s-t)(s-u)(t-u)$$とおく。通分すると$$a_1=\frac{(t-u)-(s-u)+(s-t)}{\mathrm{\Delta }}=0,$$$$a_2=\frac{s(t-u)-t(s-u)+u(s-t)}{\mathrm{\Delta }}=0,$$$$a_3=\frac{s^2(t-u)-t^2(s-u)+u^2(s-t)}{\mathrm{\Delta }}=1.$$最後の分子は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle s^2(t-u)-t^2(s-u)+u^2(s-t)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(s-t)(st-su-tu+u^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(s-t)(s-u)(t-u)=\mathrm{\Delta }}\end{array}$$と因数分解できる。(2)から$$a_{n+3}=-a_{n+2}+2a_{n+1}+a_n$$であり，整数の3項から次の整数項が定まる。初期値が$0,0,1$なので，帰納法によりすべての$a_n$は整数である。