北海道大学 2016年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

(1) 次の方程式が異なる3つの0でない実数解をもつことを示せ。

x^{3} + x^{2} - 2 x - 1 = 0 \dots\dots (＊)

(2) 方程式(＊)の3つの実数解を $s, t, u$ とし，数列 ${a_{n}}$ を

a_{n} = \frac{s ^{n - 1}}{( s - t ) ( s - u )} + \frac{t ^{n - 1}}{( t - u ) ( t - s )} + \frac{u ^{n - 1}}{( u - s ) ( u - t )} (n = 1, 2, 3, \dots)

によって定める。このとき，

a_{n + 3} + a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} - a_{n} = 0 (n = 1, 2, 3, \dots)

が成り立つことを示せ。

(3) (2)の $a_{n}$ がすべて整数であることを示せ。

出典：北海道大学 2016年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

解法1

(1)は値の符号をいくつかの区間で調べて，3つの実根の存在を中間値で示す。(2)は各根 $r = s, t, u$ が $r^{3} + r^{2} - 2 r - 1 = 0$ を満たすので， $r^{n + 2} + r^{n + 1} - 2 r^{n} - r^{n - 1} = 0$ を各項に掛けて足す。(3)は $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ をラグランジュ補間の係数として求め， $0, 0, 1$ から整数係数の漸化式で全項が整数になることを示す。

解法2

(1)(2)は根が満たす多項式を直接使う。(3)ではラグランジュ補間を使わず、3つの分数を共通分母へ通分して初期値 $0, 0, 1$ を求める。

解答

解法1

(1)

$F (x) = x^{3} + x^{2} - 2 x - 1$ とおく。値を調べると $F (- 2) = - 1, F (- 1) = 1$ なので， $(- 2, - 1)$ に少なくとも1つの実数解がある。また $F (- 1) = 1, F (0) = - 1$ なので， $(- 1, 0)$ にも少なくとも1つの実数解がある。さらに $F (1) = - 1, F (2) = 7$ なので， $(1, 2)$ にも少なくとも1つの実数解がある。

3次方程式は実数解を重複を込めて高々3つしか持たない。上で得た3つの区間は互いに交わらないので，方程式は異なる3つの実数解を持つ。どの区間も0を含まないので，これらはすべて0でない実数解である。

(2)

$r$ を方程式の解 $s, t, u$ のいずれかとする。すると $r^{3} + r^{2} - 2 r - 1 = 0$ である。 $r \neq = 0$ なので，これに $r^{n - 1}$ を掛けて $r^{n + 2} + r^{n + 1} - 2 r^{n} - r^{n - 1} = 0$ を得る。

この等式を， $r = s, t, u$ それぞれについて，定義式に現れる分母で割って足し合わせると $a_{n + 3} + a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} - a_{n} = 0$ となる。分母が0でないのは，(1)より $s, t, u$ が互いに異なるからである。

(3)

まず初めの3項を求める。ラグランジュ補間を用いると，任意の2次以下の多項式 $G (x)$ について， $G (x)$ の $x^{2}$ の係数は

\frac{G ( s )}{( s - t ) ( s - u )} + \frac{G ( t )}{( t - u ) ( t - s )} + \frac{G ( u )}{( u - s ) ( u - t )}

に等しい。

ここで $G (x) = 1$ ， $x$ ， $x^{2}$ を順に代入すると，それぞれの $x^{2}$ の係数から $a_{1} = 0, a_{2} = 0, a_{3} = 1$ を得る。(2)の漸化式は $a_{n + 3} = - a_{n + 2} + 2 a_{n + 1} + a_{n}$ と書ける。右辺の係数はすべて整数であり，初期値 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ も整数である。したがって数学的帰納法により，すべての $n$ について $a_{n}$ は整数である。

解法2

(1)

$F (x) = x^{3} + x^{2} - 2 x - 1$ とおくと，

F (- 2) < 0 < F (- 1), F (- 1) > 0 > F (0), F (1) < 0 < F (2)

である。互いに交わらない3区間に1根ずつあり，3次方程式なのでこれらが異なる3実根のすべてである。各区間は $0$ を含まない。

(2)

各根 $r = s, t, u$ について

r^{n + 2} + r^{n + 1} - 2 r^{n} - r^{n - 1} = 0

である。これを各項の分母で割って3根について足すと

a_{n + 3} + a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} - a_{n} = 0

を得る。

(3)

Δ = (s - t) (s - u) (t - u)

とおく。通分すると

a_{1} = \frac{( t - u ) - ( s - u ) + ( s - t )}{Δ} = 0,

a_{2} = \frac{s ( t - u ) - t ( s - u ) + u ( s - t )}{Δ} = 0,

a_{3} = \frac{s ^{2} ( t - u ) - t ^{2} ( s - u ) + u ^{2} ( s - t )}{Δ} = 1.

最後の分子は因数分解すると $Δ$ に等しい。(2)から

a_{n + 3} = - a_{n + 2} + 2 a_{n + 1} + a_{n}

であり，整数の3項から次の整数項が定まる。初期値が $0, 0, 1$ なので，帰納法によりすべての $a_{n}$ は整数である。

北海道大学 2016年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2016年度
理系数学前期第4問