北海道大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $x\leqq y\leqq z$ より $$4x+3y+2z\geqq 4x+3x+2x=9x$$ である。ところが $4x+3y+2z=1$ なので $1\geqq 9x$ となり，$x\leqq {\displaystyle \frac{1}{9}}$ である。等号は $x=y=z={\displaystyle \frac{1}{9}}$ のとき成り立ち，この点は条件を満たす。したがって $x$ の最大値は ${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{9}}}$ である。

次に $y$ の最小値を求める。$x\leqq y$ より $4x\leqq 4y$，また $z\leqq 1$ より $2z\leqq 2$ であるから $$1=4x+3y+2z\leqq 4y+3y+2=7y+2$$ である。したがって $y\geqq -{\displaystyle \frac{1}{7}}$ である。等号は $$x=y=-{\displaystyle \frac{1}{7}},z=1$$ のとき成り立ち，この点は $$x\leqq y\leqq z\leqq 1,4x+3y+2z=1$$ を満たす。よって $y$ の最小値は ${\displaystyle -{\displaystyle \frac{1}{7}}}$ である。

(2)

条件式から $$x={\displaystyle \frac{1-3y-2z}{4}}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 3x-y+z}& {\displaystyle =3\cdot {\displaystyle \frac{1-3y-2z}{4}}-y+z}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3-13y-2z}{4}}}\end{array}$$である。よって $3x-y+z$ の範囲を求めるには，$13y+2z$ の範囲を調べればよい。

まず $y\leqq z\leqq 1$ より $y\leqq 1$，$z\leqq 1$ であるから $13y+2z\leqq 15$ である。したがって $$3x-y+z\geqq {\displaystyle \frac{3-15}{4}}=-3$$ である。等号は $$(y,z)=(1,1),x=-1$$ すなわち $(x,y,z)=(-1,1,1)$ で成り立つ。

次に下から評価する。$x\leqq y$ と条件式から $1=4x+3y+2z\leqq 7y+2z$ である。よって $$y\geqq {\displaystyle \frac{1-2z}{7}}$$ であり，$$13y+2z\geqq 13\cdot {\displaystyle \frac{1-2z}{7}}+2z={\displaystyle \frac{13-12z}{7}}$$ である。さらに $z\leqq 1$ だから $${\displaystyle \frac{13-12z}{7}}\geqq {\displaystyle \frac{1}{7}}$$ である。したがって $13y+2z\geqq {\displaystyle \frac{1}{7}}$ となり，$$3x-y+z\leqq {\displaystyle \frac{3-{\displaystyle \frac{1}{7}}}{4}}={\displaystyle \frac{5}{7}}$$ である。等号は $$z=1,x=y=-{\displaystyle \frac{1}{7}}$$ のとき成り立つ。

以上より $${\displaystyle -3\leqq 3x-y+z\leqq {\displaystyle \frac{5}{7}}}$$ である。

順序条件を3つの非負な「差」に直すと、各最大・最小が一つの予算配分として見える。

順序条件を $u=y-x$、$v=z-y$、$w=1-z$ という3つの非負変数へ置き換える。条件式は1本の予算式となり、各目的式は係数比を比較するだけで最大・最小を決められる。

$$u=y-x,v=z-y,w=1-z$$とおくと $u,v,w\geqq 0$ であり、$$z=1-w,y=1-w-v,x=1-w-v-u$$である。条件式へ代入すると$$4u+7v+9w=8$$を得る。

(1)

$x=1-(u+v+w)$ を最大にするには、同じ予算8を最も大きい係数9の $w$ だけへ配分すればよい。すなわち$$(u,v,w)=(0,0,{\displaystyle \frac{8}{9}})$$で、$x$ の最大値は $1\mathrm{/}9$ である。

また $y=1-(v+w)$ を最小にするには、予算当たりの $v+w$ が大きい $v$ だけへ配分すればよい。すなわち$$(u,v,w)=(0,{\displaystyle \frac{8}{7}},0)$$で、$y$ の最小値は $-1\mathrm{/}7$ である。

(2) $$3x-y+z=3-3u-2v-3w$$である。予算1当たりに引かれる量は、$u,v,w$ についてそれぞれ$${\displaystyle \frac{3}{4}},{\displaystyle \frac{2}{7}},{\displaystyle \frac{1}{3}}$$である。したがって最小値は $u$ だけへ配分した $u=2$ のときの $-3$、最大値は $v$ だけへ配分した $v=8\mathrm{/}7$ のときの $5\mathrm{/}7$ である。

非負解の集合は凸で、目的式は連続な一次式だから両端の間の値をすべてとる。よって$$-3\leqq 3x-y+z\leqq {\displaystyle \frac{5}{7}}$$である。