北海道大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

白玉と赤玉を合わせて、各箱にもともと入っている玉の個数を $m=q+r$ とおく。玉には番号がついているので、同じ色でも別の玉として区別する。

一連の操作で、各境界を右へ越える玉を順に見る。1回目は箱1にもともと入っている $m$ 個の玉から1個を選ぶ。2回目以降は、その箱に左から移ってきた玉をそのまま右へ送るか、その箱にもともと入っていた $m$ 個の玉から1個を新しく選ぶかである。したがって、2回目以降の各操作には $m+1$ 通りの選択がある。

(1)
$n=2$ のとき、操作は箱1から箱2へ1個移すだけである。選べる玉は箱1にもともと入っている $m$ 個なので $s_2=m=q+r$ である。

(2)
$n=3$ のとき、1回目の移動は $m$ 通りである。2回目、つまり箱2から箱3への移動では、直前に箱1から来た玉を送る場合が1通り、箱2にもともとあった玉を送る場合が $m$ 通りある。よって $s_3=m(m+1)=(q+r)(q+r+1)$ である。

次に $a_3$ を求める。箱3の白玉が $q+1$ 個になるのは、最後に箱3へ入る玉が白玉であるときである。最後の移動で白玉が送られる場合は、次の2種類である。

1つ目は、1回目に箱1の白玉を選び、それを2回目にそのまま箱3へ送る場合である。これは $q$ 通りである。2つ目は、1回目にどの玉を選んでもよく、2回目に箱2にもともとあった白玉を新しく選ぶ場合である。これは $mq$ 通りである。

したがって $a_3=q+mq=q(q+r+1)$ である。

(3)
$n=4$ のとき、1回目は $m$ 通り、2回目と3回目はそれぞれ $m+1$ 通りである。よって $$s_4=m(m+1{)}^2=(q+r)(q+r+1{)}^2$$ である。

また $a_4$ は、最後に箱4へ入る玉が白玉である場合の数である。最後に白玉を送る選択は、最初から白玉を選んでそれを運び続けてもよいし、途中の箱でもともとあった白玉を新しく選んでもよい。一般に、最後の移動で白玉を送るには、最後に白玉を選ぶ段階を1つ決め、その前の選択は自由に続けられる。

具体的には、1回目に箱1の白玉を選んでそれを2回続けて送る場合が $q$ 通り、2回目に箱2の白玉を新しく選んでそれを最後に送る場合が $mq$ 通り、3回目に箱3の白玉を新しく選ぶ場合が $m(m+1)q$ 通りという見方でも数えられる。合計は $$q+mq+m(m+1)q=q(1+m+m^2+m)=q(m+1{)}^2$$ である。したがって $a_4=q(q+r+1{)}^2$ である。