北海道大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
1から $3n$ までの $3n$ 枚のカードから、まずAさんに渡す $n$ 枚を選ぶ。これは ${}_{3n}{\mathrm{C}}_n$ 通りである。次に、残った $2n$ 枚からBさんに渡す $n$ 枚を選ぶ。これは ${}_{2n}{\mathrm{C}}_n$ 通りである。AさんとBさんのカードが決まればCさんのカードは自動的に決まるので、求める配り方は ${}_{3n}{\mathrm{C}}_n{}_{2n}{\mathrm{C}}_n$ 通りである。

(2)
Aさんのカードの番号の最小値が $n+1$ であるから、Aさんはカード $n+1$ を持ち、カード $1,2,\dots ,n$ は持たない。またBさんのカードの番号の最小値が $2n-1$ であるから、Bさんはカード $2n-1$ を持ち、カード $1,2,\dots ,2n-2$ は持たない。

したがってカード $1,2,\dots ,n$ はAさんにもBさんにも渡せないので、すべてCさんに渡る。Cさんはこれで $n$ 枚を持つため、残りのカードはAさんとBさんだけで分けることになる。

Bさんはカード $2n-1$ を必ず持つ。残りの $n-1$ 枚は、$2n-1$ より大きいカード $2n,2n+1,\dots ,3n$ の $n+1$ 枚から選べばよい。よってBさんの選び方は $${}_{n+1}{\mathrm{C}}_{n-1}={}_{n+1}{\mathrm{C}}_2$$ 通りである。

Bさんのカードが決まると、残ったカードのうちCさんに渡った $1,2,\dots ,n$ 以外はすべてAさんに渡る。これには必ず $n+1$ が含まれ、Aさんの最小値条件も満たす。したがって求める配り方は $${}_{n+1}{\mathrm{C}}_2=\frac{n(n+1)}{2}$$ 通りである。