問題
アルファベットのAと書かれた玉が1個，Dと書かれた玉が1個，Hと書かれた玉が1個，Iと書かれた玉が1個，Kと書かれた玉が2個，Oと書かれた玉が2個ある。これら8個の玉を円形に並べる。
(1) 時計回りにHOKKAIDOと並ぶ確率を求めよ。
(2) 隣り合う子音が存在する確率を求めよ。ここで子音とは，D，H，Kの3文字（玉は4個）のことである。
(3) 隣り合う子音が存在するとき，それがKKだけである条件つき確率を求めよ。
方針
解法1
同じ文字の玉がある円順列なので、全体数を として数える。(1) は円形の読み始めを回転で同一視すると、時計回りに HOKKAIDO と並ぶ配置は1通りである。(2) は「隣り合う子音が存在しない」を補集合で数え、母音4個を円形に並べてできる4つのすき間に子音4個を1つずつ入れる。(3) はKKを1つのブロックとして扱い、DとHがどの子音とも隣り合わないように、母音のすき間へブロック・D・Hを別々に入れる。
別解（同文字の玉を区別して数える検算）
2個のKと2個のOを一時的に区別し、唯一のAの位置を固定して回転を除く。全事象を 通りとし、最後までラベル付きで数えることで重複除去の割り忘れを避ける。
解答
解法1
(1)
8個の玉を円形に並べる総数は、Kが2個、Oが2個あることを考えて 通りである。
時計回りに HOKKAIDO と並ぶ円形配置は、回転を同一視すれば1通りである。したがって求める確率は である。
(2)
隣り合う子音が存在しない場合を数える。母音は A, I, O, O の4個であり、これらを円形に並べる方法は 通りである。
この4個の母音の間には4つのすき間がある。子音 D, H, K, K が隣り合わないためには、この4つのすき間に子音を1個ずつ入れるしかない。その入れ方は 通りである。よって、隣り合う子音が存在しない並べ方は 通りである。
したがって、隣り合う子音が存在しない確率は であり、求める確率はその余事象なので である。
(3)
「隣り合う子音が存在するとき、それがKKだけである」とは、KとKは隣り合い、DとHはどの子音とも隣り合わない場合である。
KKを1つのブロックとみなす。まず母音 A, I, O, O を円形に並べる方法は、(2) と同じく 通りである。この母音4個の間の4つのすき間のうち、3つを選んで、KKブロック、D、Hを1つずつ入れればよい。その方法は 通りである。したがって、条件に合う並べ方は 通りである。
(2) より、隣り合う子音が存在する並べ方は 通りである。よって求める条件付き確率は である。
別解（同文字の玉を区別して数える検算）
2個のKを 、2個のOを と区別する。唯一のAを円の最上部に固定すれば、全配置は残り7個の順列 通りである。
(1)
文字列 HOKKAIDO を作る円形配置は1種類であり、KとOのラベルの付け方がそれぞれ 通りある。したがって有利なラベル付き配置は 通りで、確率は
(2)
子音が隣り合わないなら、母音4個と子音4個は円周上で交互に並ぶ。Aを固定した後、残る母音 の並べ方は 通りで、その4つのすき間に子音 を置く方法は 通りである。よって子音が隣り合わない配置は
通りである。したがって求める確率は
(3)
KKだけが隣り合う配置を数える。まずAを固定し、残るラベル付き母音を円形の残り3位置へ置く方法は 通り。4つの母音間のすき間のうち、 ブロックを置くすき間は4通り、ブロック内部の順序は2通りである。残り3すき間の異なる2つへD,Hを順に置く方法は 通り。したがって有利な配置は
通りである。
条件「隣り合う子音が存在する」を満たす配置は 通りだから、条件付き確率は