北海道大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
8個の玉を円形に並べる総数は、Kが2個、Oが2個あることを考えて $$\frac{(8-1)!}{2!2!}=\frac{7!}{2!2!}=1260$$ 通りである。

時計回りに HOKKAIDO と並ぶ円形配置は、回転を同一視すれば1通りである。したがって求める確率は $\frac{1}{1260}$ である。

(2)
隣り合う子音が存在しない場合を数える。母音は A, I, O, O の4個であり、これらを円形に並べる方法は $$\frac{(4-1)!}{2!}=3$$ 通りである。

この4個の母音の間には4つのすき間がある。子音 D, H, K, K が隣り合わないためには、この4つのすき間に子音を1個ずつ入れるしかない。その入れ方は $$\frac{4!}{2!}=12$$ 通りである。よって、隣り合う子音が存在しない並べ方は $3\cdot 12=36$ 通りである。

したがって、隣り合う子音が存在しない確率は $$\frac{36}{1260}=\frac{1}{35}$$ であり、求める確率はその余事象なので $$1-\frac{1}{35}=\frac{34}{35}$$ である。

(3)
「隣り合う子音が存在するとき、それがKKだけである」とは、KとKは隣り合い、DとHはどの子音とも隣り合わない場合である。

KKを1つのブロックとみなす。まず母音 A, I, O, O を円形に並べる方法は、(2) と同じく $3$ 通りである。この母音4個の間の4つのすき間のうち、3つを選んで、KKブロック、D、Hを1つずつ入れればよい。その方法は $${}_4{\mathrm{C}}_3\cdot 3!=24$$ 通りである。したがって、条件に合う並べ方は $3\cdot 24=72$ 通りである。

(2) より、隣り合う子音が存在する並べ方は $1260-36=1224$ 通りである。よって求める条件付き確率は $$\frac{72}{1224}=\frac{1}{17}$$ である。

2個のKと2個のOを一時的に区別し、唯一のAの位置を固定して回転を除く。全事象を $7!$ 通りとし、最後までラベル付きで数えることで重複除去の割り忘れを避ける。

2個のKを $K_1,K_2$、2個のOを $O_1,O_2$ と区別する。唯一のAを円の最上部に固定すれば、全配置は残り7個の順列 $7!=5040$ 通りである。

(1)
文字列 HOKKAIDO を作る円形配置は1種類であり、KとOのラベルの付け方がそれぞれ $2!$ 通りある。したがって有利なラベル付き配置は $2!2!=4$ 通りで、確率は$$\frac{4}{5040}=\frac{1}{1260}\mathrm{.}$$(2)
子音が隣り合わないなら、母音4個と子音4個は円周上で交互に並ぶ。Aを固定した後、残る母音 $I,O_1,O_2$ の並べ方は $3!$ 通りで、その4つのすき間に子音 $D,H,K_1,K_2$ を置く方法は $4!$ 通りである。よって子音が隣り合わない配置は$$3!4!=144$$通りである。したがって求める確率は$$1-\frac{144}{5040}=1-\frac{1}{35}=\frac{34}{35}\mathrm{.}$$(3)
KKだけが隣り合う配置を数える。まずAを固定し、残るラベル付き母音を円形の残り3位置へ置く方法は $3!$ 通り。4つの母音間のすき間のうち、$K_1{K}_2$ ブロックを置くすき間は4通り、ブロック内部の順序は2通りである。残り3すき間の異なる2つへD,Hを順に置く方法は $3\cdot 2$ 通り。したがって有利な配置は$$3!\cdot 4\cdot 2\cdot 3\cdot 2=288$$通りである。

条件「隣り合う子音が存在する」を満たす配置は $5040-144=4896$ 通りだから、条件付き確率は$$\frac{288}{4896}=\frac{1}{17}\mathrm{.}$$